Кіріспе
Тұрақты уақыт Марков процесінің ерекше түрі. Туу-өлім процесі (немесе туу және өлім процесі) – үздіксіз уақыт Марков процесінің ерекше жағдайы, онда күй өзгерістері тек екі типте болады: "туылу", күй айнымалысын бірге арттырады, және "өлім", күйді бірге кемітеді. Оны Уильям Феллер енгізген. Модельдің атауы осы модельдерді халықтың ағымдағы мөлшерін бейнелеу үшін қолданудан шыққан, онда өзгерістер нақты туылулар мен өлімдер болып табылады. Туу-өлім процестері демография, кезек теориясы, өнімділік инженериясы, эпидемиология, биология және басқа да салаларда кеңінен қолданылады. Мысалы, бактериялардың эволюциясын, халық ішіндегі ауруға шалдыққан адамдардың санын немесе супермаркеттегі кезекте тұрған клиенттердің санын зерттеу үшін оларды пайдалануға болады.
The birth–death process (or birth and death process) is a special case of continuous time Markov process where the state transitions are of only two types: "births", which increase the state variable by one and "deaths", which decrease the state by one. It was introduced by William Feller. The model's name comes from a common application, the use of such models to represent the current size of a population where the transitions are literal births and deaths. Birth–death processes have many applications in demography, queueing theory, performance engineering, epidemiology, biology and other areas. They may be used, for example, to study the evolution of bacteria, the number of people with a disease within a population, or the number of customers in line at the supermarket.
Анықтама
Туған кезде процесс n күйден n+1 күйге өтеді. Өлім болғанда процесс n күйден n-1 күйге өтеді. Процесс оң туылу көрсеткіштерімен және оң өлім-жітім көрсеткіштерімен сипатталады. Процестегі адамдардың саны t уақытындағы жағдайымен белгіленеді. Процесс Марков қасиетіне ие және уақыт өте келе жағдайының қалай өзгеретінін көрсетеді. Кішкентай мәндер үшін, функция келесі қасиеттерді қанағаттандырады деп есептеледі:
Бұл процесс келесі суретте көрсетілген, онда процесс күйлері (яғни популяциядағы адамдар саны) шеңберлермен, ал күйлер арасындағы өтулер жебелермен белгіленген.
Қайталануы және өткіншілігі
Марков процестеріндегі қайталану және уақытшалық сипаттары туралы мәліметтер үшін Марков тізбегінен 5.3-бөлімді қараңыз.
Кезек теориясында қолдану
Кезек теориясында туу-өлім процесі кезек моделінің ең негізгі мысалы болып табылады, М/М/С/К//FIFO (толық Кендалл нотациясы бойынша) кезек. Бұл – шексіз популяциядан келіп түсетін Пуассон ағыны, экспоненциалды түрде бөлінген қызмет уақыттары бар С серверлері және кезекте К орын бар кезек. Сансыз популяция туралы болжамға қарамастан, бұл модель түрлі телекоммуникация жүйелері үшін жақсы модель болып табылады.
Екі жақты туу мен өлу процесі
Екі жақты туу және өлім процесі стандартты процеске ұқсас анықталады, жалғыз айырмашылығы туу және өлім коэффициенттері λ және μ индекс параметрінің мәндері үшін анықталады. Осыған сәйкес, екі жақты туу және өлім процесі тек және ғана егер рекуррентті болады.
Эргодикалық және нөлдік рекурренттілік ұғымдары да стандартты туу және өлім процесінің сәйкес ұғымдарын кеңейту арқылы ұқсас анықталады.