Введение
Особый тип непрерывного марковского процесса времени.
Процесс рождения–смерти (или процесс рождения и смерти) является частным случаем непрерывного марковского процесса времени, в котором переходы между состояниями происходят только двух типов: "рождения", увеличивающие переменную состояния на единицу, и "смерти", уменьшающие состояние на единицу. Он был введен Уильямом Феллером. Название модели происходит от распространенного применения – использования таких моделей для представления текущего размера популяции, где переходы соответствуют буквальным рождениям и смертям. Процессы рождения–смерти имеют широкое применение в демографии, теории массового обслуживания, инженерии надежности, эпидемиологии, биологии и других областях. Их можно использовать, например, для изучения эволюции бактерий, числа людей, зараженных заболеванием, в популяции, или числа клиентов в очереди в супермаркете.
Определение
Когда происходит рождение, процесс переходит из состояния n в n + 1. Когда происходит смерть, процесс переходит из состояния n в состояние n - 1. Процесс задается положительными коэффициентами рождаемости и положительными коэффициентами смертности. Количество индивидуумов в процессе в момент времени t обозначается как X(t). Процесс обладает марковским свойством и описывает, как X(t) изменяется со временем. Для малых t, функция p(t) предполагается удовлетворяющей следующим свойствам:
Этот процесс представлен на следующей схеме, где состояния процесса (то есть число индивидуумов в популяции) изображены кругами, а переходы между состояниями – стрелками.
Повторность и преходящее состояние
О повторяемости и преходящести в марковских процессах см. Раздел 5.3 книги "Цепи Маркова".
Использование в теории очередей
В теории массового обслуживания процесс рождения-смерти является наиболее фундаментальным примером модели очереди, а именно очередь M/M/C/K//FIFO (в полной нотации Кендалла). Это очередь с пуассоновским потоком прибытия, поступающих из бесконечной генеральной совокупности, и C серверов с экспоненциально распределенным временем обслуживания, имеющая K мест в очереди. Несмотря на допущение об бесконечной генеральной совокупности, эта модель хорошо подходит для описания различных телекоммуникационных систем.
Двусторонний процесс рождения и смерти
Двусторонний процесс рождения и смерти определяется аналогично стандартному, с той лишь разницей, что коэффициенты рождения и смерти λ и μ определяются для значений параметра индекса. Двусторонний процесс рождения и смерти является рекуррентным тогда и только тогда, когда...
Понятия эргодичности и нулевой рекуррентности определяются аналогично, путем расширения соответствующих понятий стандартного процесса рождения и смерти.