Введение

математическое понятие Преобразования, индуцированные математической группой

В математике многие множества преобразований образуют группу относительно композиции функций; например, вращения вокруг точки на плоскости. Часто бывает полезно рассматривать группу как абстрактную группу и говорить о групповом действии этой абстрактной группы, которое заключается в выполнении преобразований из группы преобразований. Причина разделения понятия группы и преобразований заключается в том, что, как правило, группа преобразований некоторой структуры действует также на различные связанные с ней структуры; например, вышеупомянутая группа вращений действует также на треугольники, переводя треугольники в треугольники. Формально, групповое действие группы G на множестве S – это групповой гомоморфизм из G в некоторую группу (относительно композиции функций) функций из S в себя. Если группа действует на структуру, она обычно также действует на объекты, построенные из этой структуры. Например, группа евклидовых изометрий действует на евклидово пространство, а также на фигуры, нарисованные в нем; в частности, она действует на множество всех треугольников. Аналогично, группа симметрий многогранника действует на его вершины, ребра и грани. Групповое действие на векторном пространстве называется представлением группы. В случае конечномерного векторного пространства это позволяет отождествить многие группы с подгруппами общей линейной группы GL(n, K) – группы невырожденных матриц размера n над полем K.

Симметрическая группа действует на любом множестве из n элементов, переставляя его элементы. Хотя группа всех перестановок множества формально зависит от самого множества, понятие группового действия позволяет рассматривать единую группу для изучения перестановок всех множеств с одинаковой кардинальностью.

Примечательные свойства действий

Пусть G — группа, действующая на множество X. Действие называется верным или эффективным, если равенство g⋅x = x для всех x ∈ X влечет за собой g = eG. Эквивалентно, гомоморфизм из G в группу биекций X, соответствующий этому действию, является инъективным. Действие называется свободным (или полурегулярным, или без неподвижных точек), если равенство g⋅x = x для некоторого x ∈ X влечет за собой g = eG. Иными словами, ни один нетривиальный элемент G не фиксирует точку множества X. Это гораздо более сильное свойство, чем верность. Например, действие любой группы на себя посредством левого умножения является свободным. Это наблюдение влечет за собой теорему Кэли о том, что любую группу можно вложить в симметрическую группу (которая бесконечна, если группа бесконечна). Конечная группа может действовать верно на множестве, размер которого значительно меньше её кардинальности (однако такое действие не может быть свободным). Например, абелева 2-группа (Z/2Z)^n (кардинальности 2^n) действует верно на множестве размера 2n. Это не всегда так: например, циклическая группа Z/2^nZ не может действовать верно на множестве размера меньше 2^n. В общем случае, наименьший размер множества, на котором можно определить верное действие, может сильно различаться для групп одного размера. Например, три группы размера 120 — это симметрическая группа S5, икосаэдрическая группа A5 × Z/2Z и циклическая группа Z/120Z. Наименьшие множества, на которых можно определить верные действия для этих групп, имеют размеры 5, 7 и 16 соответственно.

Свойства транзитивности

Действие G на X называется транзитивным, если для любых двух точек x, y ∈ X существует g ∈ G, такой что g ⋅ x = y. Действие называется просто транзитивным (или резко транзитивным, или регулярным), если оно одновременно транзитивно и свободно. Это означает, что для заданных x, y ∈ X элемент g в определении транзитивности является единственным. Если X действует на него просто транзитивно группой G, то оно называется главным однородным пространством для G или G-торсором. Для целого числа n ≥ 1 действие называется n-транзитивным, если X содержит по крайней мере n элементов, и для любой пары n-кортежей (x1, ..., xn), (y1, ..., yn) ∈ X^(n) с попарно различными элементами (то есть xi ≠ xj, yi ≠ yj при i ≠ j) существует g ∈ G, такой что g ⋅ xi = yi для всех i = 1, ..., n. Иными словами, действие на подмножестве X^(n), состоящем из кортежей без повторяющихся элементов, является транзитивным. Для n = 2, 3 это часто называют двойной и тройной транзитивностью соответственно. Класс 2-транзитивных групп (то есть подгрупп конечной симметрической группы, чье действие является 2-транзитивным) и, в более общем случае, групп с множественной транзитивностью хорошо изучен в теории конечных групп. Действие называется резко n-транзитивным, когда действие на кортежах без повторяющихся элементов в X^(n) является резко транзитивным.

Примеры

Действие симметричной группы на множестве X является транзитивным, и даже n-транзитивным для любого n, не превышающего кардинальность X. Если кардинальность X равна n, то действие чередующейся группы является (n − 2)-транзитивным, но не (n − 1)-транзитивным. Действие общей линейной группы векторного пространства V на множестве ненулевых векторов является транзитивным, но не 2-транзитивным (аналогично для действия специальной линейной группы, если размерность V не меньше 2). Действие ортогональной группы евклидова пространства не является транзитивным на множестве ненулевых векторов, но является транзитивным на единичной сфере.

Первобытные действия

Действие G на X называется примитивным, если не существует разбиения X, инвариантного относительно всех элементов G, за исключением тривиальных разбиений (разбиение на одну часть и его двойственное, а также разбиение на одноэлементные множества).

Топологические свойства

Предположим, что X — топологическое пространство, а действие G — по гомеоморфизмам. Действие называется блуждающим, если для каждой точки x ∈ X существует окрестность U такая, что существует лишь конечное число элементов g ∈ G, для которых g⋅U ∩ U ≠ ∅. В более общем случае, точка x ∈ X называется точкой разрыва действия G, если существует открытое подмножество U, содержащее x, такое, что существует лишь конечное число элементов g ∈ G, для которых g⋅U ∩ U ≠ ∅. Область разрыва действия — это множество всех точек разрыва. Эквивалентно, это наибольшее G-инвариантное открытое подмножество Ω ⊂ X, такое, что действие G на Ω является блуждающим. В динамическом контексте это также называется бродячим множеством. Действие называется правильно прерывистым, если для каждого компактного подмножества K ⊂ X существует лишь конечное число элементов g ∈ G, для которых g⋅K ∩ K ≠ ∅. Это условие строже, чем блуждающее; например, действие Z, заданное формулой 1=n⋅(x, y) = (2^(n)x, 2^(−n)y), является блуждающим и свободным, но не является правильно прерывистым. Действие преобразований накрытия фундаментальной группы локально простосвязного пространства на покрывающем пространстве является блуждающим и свободным. Такие действия можно характеризовать следующим свойством: для каждой точки x ∈ X существует окрестность U такая, что g⋅U ∩ U = ∅ для всех g ≠ 1. Действия, обладающие этим свойством, иногда называют свободно прерывистыми, а наибольшее подмножество, на котором действие свободно прерывисто, называется свободным регулярным множеством. Действие группы G на локально компактном пространстве X называется кокомпактным, если существует компактное подмножество A ⊂ X такое, что X = G⋅A. Для правильно прерывистого действия кокомпактность эквивалентна компактности факторпространства G \ X.

Действия топологических групп

Теперь предположим, что G — топологическая группа, а X — топологическое пространство, на котором она действует посредством гомеоморфизмов. Действие называется непрерывным, если отображение G × X → X непрерывно относительно топологии произведения. Действие называется собственным, если отображение G × X → X × X, заданное как (g, x) ↦ (x, g⋅x), является собственным. Это означает, что для любых компактных множеств K и K′ множество g ∈ G, таких что g⋅K ∩ K′ ≠ ∅, является компактным. В частности, это эквивалентно тому, что если действие является собственным, то G — дискретная группа. Говорят, что действие локально свободно, если существует окрестность U точки eG такая, что g⋅x ≠ x для всех x ∈ X.

Действие называется сильно непрерывным, если орбитальное отображение g ↦ g⋅x непрерывно для каждого x ∈ X. Вопреки названию, это более слабое свойство, чем непрерывность действия. Если G — группа Ли, а X — дифференцируемое многообразие, то подпространство гладких точек для действия — это множество точек x ∈ X, таких что отображение g ↦ g⋅x гладкое. Существует хорошо развитая теория действий групп Ли, то есть действий, которые гладкие на всем пространстве.

Линейные действия

Если g действует линейными преобразованиями на модуле над коммутативным кольцом, то действие называется неприводимым, если не существует собственных ненулевых g-инвариантных подмодулей. Оно называется полупростым, если оно разлагается в прямую сумму неприводимых действий.

Орбиты и стабилизаторы

Рассмотрим группу G, действующую на множество X. Орбита элемента x в X – это множество элементов в X, в которые x может быть переведено элементами G. Орбита x обозначается G⋅x:

Определяющие свойства группы гарантируют, что множество орбит (точек x в) X под действием G образует разбиение X. Связанное отношение эквивалентности определяется следующим образом: x ~ y тогда и только тогда, когда существует g ∈ G, такой что g⋅x = y. Орбиты являются классами эквивалентности относительно этого отношения; два элемента x и y эквивалентны тогда и только тогда, когда их орбиты совпадают, то есть G⋅x = G⋅y. Групповое действие является транзитивным тогда и только тогда, когда оно имеет ровно одну орбиту, то есть существует x ∈ X, такой что G⋅x = X. Это выполняется тогда и только тогда, когда G⋅x = X для всех x ∈ X (при условии, что X не пусто). Множество всех орбит X под действием G записывается как X / G (или, реже, как G \ X) и называется фактормножеством по действию. В геометрических ситуациях его можно назвать пространством орбит, а в алгебраических ситуациях – пространством коинвариантов, обозначаемым XG, в отличие от инвариантов (фиксированных точек), обозначаемых X^(G): коинварианты являются фактормножеством, а инварианты – подмножеством. Терминология и обозначения коинвариантов особенно часто используются в групповой когомологии и групповой гомологии, которые придерживаются той же конвенции использования верхних/нижних индексов.

Неизменные подмножества

Если Y является подмножеством X, то G⋅Y обозначает множество. Подмножество Y называется инвариантным относительно G, если 1 = G⋅Y = Y (что эквивалентно G⋅Y ⊆ Y). В этом случае G также действует на Y, ограничивая действие до Y. Подмножество Y называется фиксированным относительно G, если 1 = g⋅y = y для всех g из G и всех y из Y. Любое подмножество, фиксированное относительно G, также является инвариантным относительно G, но не наоборот. Каждая орбита является инвариантным подмножеством X, на котором G действует транзитивно. И наоборот, любое инвариантное подмножество X является объединением орбит. Действие G на X является транзитивным тогда и только тогда, когда все элементы эквивалентны, то есть существует только одна орбита. Инвариантный элемент G из X – это x ∈ X такой, что 1 = g⋅x = x для всех g ∈ G. Множество всех таких x обозначается X^(G) и называется инвариантами G для X. Когда X является G-модулем, X^(G) является нулевой когомологической группой G с коэффициентами в X, а старшие когомологические группы – производными функторами функтора инвариантов G.

Фиксированные точки и подгруппы стабилизаторов

При наличии g из G и x из X, таких что 1 = g⋅x = x, говорят, что "x является фиксированной точкой g" или что "g фиксирует x". Для каждого x из X стабилизаторная подгруппа G относительно x (также называемая группой изотропии или малой группой) представляет собой множество всех элементов из G, которые фиксируют x. Это подгруппа G, хотя обычно не нормальная. Действие G на X свободно тогда и только тогда, когда все стабилизаторы тривиальны. Ядро N гомоморфизма в симметрическую группу, G → Sym(X), задается пересечением стабилизаторов Gx для всех x из X. Если N тривиально, действие считается верным (или эффективным). Пусть x и y – два элемента из X, и пусть g – элемент группы, такой что 1 = y = g⋅x. Тогда две стабилизаторные группы Gx и Gy связаны соотношением 1 = Gy = gGxg^(−1). Доказательство: по определению, h ∈ Gy тогда и только тогда, когда 1 = h⋅(g⋅x) = g⋅x. Применение g^(−1) к обеим сторонам этого равенства дает 1 = (g^(−1)hg)⋅x = x; то есть g^(−1)hg ∈ Gx. Обратное включение следует аналогичным образом, беря h ∈ Gx и 1 = x = g^(−1)⋅y. Выше сказано, что стабилизаторы элементов на одной орбите сопряжены друг с другом. Таким образом, к каждой орбите можно сопоставить класс сопряженности подгруппы G (то есть множество всех сопряженных подгруппы). Пусть (H) обозначает класс сопряженности H. Тогда орбита O имеет тип (H), если стабилизатор Gx некоторого/любого x из O принадлежит (H). Максимальный тип орбиты часто называют главным типом орбиты.

Групповые действия и групповые сообщения

Понятие группового действия может быть закодировано группоидом действия 1=G′ = G ⋉ X, ассоциированным с групповым действием. Стабилизаторы действия являются групповыми вершинами группоида, а орбиты действия – его связными компонентами.

Варианты и обобщения

Мы также можем рассмотреть действия моноидов на множества, используя те же две аксиомы, что и выше. Однако это не определяет биекции и отношения эквивалентности. См. действия полугрупп. Вместо действий на множествах мы можем определить действия групп и моноидов на объекты произвольной категории: начнем с объекта X некоторой категории и определим действие на X как моноидный гомоморфизм в моноид эндоморфизмов X. Если X имеет лежащее в основе множество, то все определения и факты, приведенные выше, можно перенести. Например, если взять категорию векторных пространств, мы получим представления групп таким образом. Группу G можно рассматривать как категорию с единственным объектом, в которой каждый морфизм обратим. (Левое) групповое действие тогда является (ковариантным) функтором из G в категорию множеств, а представление группы – функтором из G в категорию векторных пространств. Морфизм между G-множествами является естественным преобразованием между функторами группового действия. По аналогии, действие группоида – это функтор из группоида в категорию множеств или в некоторую другую категорию. Помимо непрерывных действий топологических групп на топологических пространствах, часто рассматриваются также гладкие действия групп Ли на гладких многообразиях, регулярные действия алгебраических групп на алгебраических многообразиях и действия групповых схем на схемы. Все это примеры групповых объектов, действующих на объекты соответствующей категории.