Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
2D геометрия теоремасы
Theorem of 2D geometry
Геометрияда Понселеттің жабылу теоремасы, сонымен қатар Понселеттің поризмі деп белгілі, егер көпбұрыш бір конустық қимаға іштей сызылған және екіншісіне сырттай орап тұрса, онда бұл көпбұрыш сол екі конустық қимаға іштей сызылып, сырттай орап тұратын көпбұрыштардың шексіз отбасының бір бөлігі болуы керек екенін айтады. Ол 1822 жылы жазған француз инженері және математигі Жан Виктор Понселеттің есімімен аталған; алайда үшбұрыштың жағдайы одан бұрын, 1746 жылы Уильям Чаппл тарапынан анықталған. Понселеттің поризмін эллиптік қисық арқылы дәлелдеуге болады, оның нүктелері бір конустық қимаға жанасатын түзудің және осы түзудің екінші конустық қимамен қиылысу нүктесінің комбинациясын көрсетеді.
In geometry, Poncelet's closure theorem, also known as Poncelet's porism, states that whenever a polygon is inscribed in one conic section and circumscribes another one, the polygon must be part of an infinite family of polygons that are all inscribed in and circumscribe the same two conics. It is named after French engineer and mathematician Jean Victor Poncelet, who wrote about it in 1822; however, the triangular case was discovered significantly earlier, in 1746 by William Chapple. Poncelet's porism can be proved by an argument using an elliptic curve, whose points represent a combination of a line tangent to one conic and a crossing point of that line with the other conic.
Айтылым
C және D екі жазық коника болсын. Егер берілген n > 2 үшін бір уақытта C-ге іштей сызылған (яғни, оның барлық төбелері C-де жатыр) және D-ге сырттай сызылған (яғни, оның барлық қабырғалары D-ге жанасады) n-бұрышты көпбұрыш табу мүмкін болса, онда олардың шексіз көп санын табуға болады. C немесе D әрбір нүктесі мұндай көпбұрыштардың бірінің төбесі немесе жанасу нүктесі болып табылады. Егер коникалар шеңберлер болса, бір шеңберге іштей сызылған және екінші шеңберге сырттай сызылған көпбұрыштар бицентрлі көпбұрыштар деп аталады, сондықтан Понселе поризмінің бұл ерекше жағдайы әр бицентрлі көпбұрыш сол екі шеңберге қатысты бицентрлі көпбұрыштардың шексіз отбасының бір бөлігі екенін қысқаша айтуға болады.
Let C and D be two plane conics. If it is possible to find, for a given n > 2, one n sided polygon that is simultaneously inscribed in C (meaning that all of its vertices lie on C) and circumscribed around D (meaning that all of its edges are tangent to D), then it is possible to find infinitely many of them. Each point of C or D is a vertex or tangency (respectively) of one such polygon. If the conics are circles, the polygons that are inscribed in one circle and circumscribed about the other are called bicentric polygons, so this special case of Poncelet's porism can be expressed more concisely by saying that every bicentric polygon is part of an infinite family of bicentric polygons with respect to the same two circles.
Сынақ эскизі
C және D қисықтарын күрделі проективтік жазықтықтағы P2 ретінде қарастырыңыз. Қарапайымдық үшін, C және D қиылысы көлденең болсын (яғни, екі қисықтың әр қиылысу нүктесі жай ғана қиылыс болып табылады). Содан кейін Безу теоремасы бойынша, екі қисықтың C ∩ D қиылысы төрт күрделі нүктеден тұрады. D-дегі кез келген d нүктесі үшін, ld – D қисығына d нүктесінде жүргізілген жанама түзу болсын. X – C × D-нің (c,d) түріндегі, мұнда ld түзуі c нүктесінен өтетін ішкі кеңістігі болсын. c берілген болса, (c,d) ∈ X шартын қанағаттандыратын d саны, егер c ∈ C ∩ D болса 1-ге, ал әйтпесе 2-ге тең болады. Осылайша, X → C проекциясы, X-ті 4 нүктеде тармақталатын 2-дәрежелі жабын ретінде көрсетеді, сондықтан X – эллиптік қисық (X-ке базалық нүктесін бекіткеннен кейін). X-тің, жалпы (c,d) нүктесін бірдей бірінші координатасы бар басқа нүктеге (c,d') жіберетін инволюциясын қарастырайық. Белгілі бір бекітілген нүктесі бар эллиптік қисықтың кез келген инволюциясы, топтық заң бойынша, x → p − x түрінде жазылады, мұндағы p – белгілі бір тұрақты сан. Осы инволюция да осы түрде болады. Сол сияқты, X → D проекциясы – C және D екеуіне де жанасатын төрт түзудің D-дегі жанасу нүктелерінде тармақталатын 2-дәрежелі морфизм, ал сәйкес инволюция x → q − x түрінде болады, мұндағы q – белгілі бір тұрақты сан. Осылайша, композиция X-те аударма болып табылады. Егер инволюциясының қандай да бір дәрежесі бекітілген нүктеге ие болса, онда бұл дәреже бірлікке тең болуы керек. Бұл тілге C және D арқылы аударғанда, егер бір нүкте c ∈ C (сәйкес d нүктесімен бірге) жабық орбитаға (яғни n-бұрышқа) әкелсе, онда кез келген нүкте де солай болады дегенді білдіреді. C және D көлденең емес жағдайлар шекті аргумент арқылы туындайды.
View C and D as curves in the complex projective plane P2. For simplicity, assume that C and D meet transversely (meaning that each intersection point of the two is a simple crossing). Then by Bézout's theorem, the intersection C ∩ D of the two curves consists of four complex points. For an arbitrary point d in D, let ℓd be the tangent line to D at d. Let X be the subvariety of C × D consisting of (c,d) such that ℓd passes through c. Given c, the number of d with (c,d) ∈ X is 1 if c ∈ C ∩ D and 2 otherwise. Thus the projection X → C ≃ P1 presents X as a degree 2 cover ramified above 4 points, so X is an elliptic curve (once we fix a base point on X). Let be the involution of X sending a general (c,d) to the other point (c,d′) with the same first coordinate. Any involution of an elliptic curve with a fixed point, when expressed in the group law, has the form x → p − x for some p, so has this form. Similarly, the projection X → D is a degree 2 morphism ramified over the contact points on D of the four lines tangent to both C and D, and the corresponding involution has the form x → q − x for some q. Thus the composition is a translation on X. If a power of has a fixed point, that power must be the identity. Translated back into the language of C and D, this means that if one point c ∈ C (equipped with a corresponding d) gives rise to an orbit that closes up (i. e., gives an n gon), then so does every point. The degenerate cases in which C and D are not transverse follow from a limit argument.