Введение
Теорема 2D геометрии
В геометрии теорема о замкнутости Понселета, также известная как поризм Понселета, утверждает, что если многоугольник вписан в одно коническое сечение и описан вокруг другого, то этот многоугольник должен быть частью бесконечного семейства многоугольников, все из которых вписаны в и описаны вокруг одних и тех же двух конических сечений. Она названа в честь французского инженера и математика Жана Виктора Понселета, который опубликовал работы на эту тему в 1822 году; однако частный случай для треугольника был открыт значительно раньше, в 1746 году Уильямом Чапплом. Поризм Понселета может быть доказан с помощью аргумента, основанного на эллиптической кривой, точки которой представляют собой комбинацию касательной к одному коническому сечению и точки пересечения этой касательной с другим коническим сечением.
Заявление
Пусть C и D — две плоские конические. Если для заданного n > 2 можно найти один n-угольник, который одновременно вписан в C (то есть все его вершины лежат на C) и описан около D (то есть все его стороны касаются D), то можно найти бесконечно много таких многоугольников. Каждая точка C или D является вершиной или точкой касания (соответственно) одного из таких многоугольников. Если конические — это окружности, то многоугольники, вписанные в одну окружность и описанные около другой, называются бицентрическими многоугольниками, поэтому этот частный случай поризма Понселе можно выразить более кратко, утверждая, что каждый бицентрический многоугольник является частью бесконечного семейства бицентрических многоугольников относительно тех же двух окружностей.
Эскиз испытания
Рассматривайте C и D как кривые в комплексной проективной плоскости P2. Для простоты предположим, что C и D пересекаются трансверсально (то есть каждая точка пересечения двух кривых является простым пересечением). Тогда по теореме Безу пересечение C ∩ D двух кривых состоит из четырех комплексных точек. Для произвольной точки d в D обозначим ℓd касательной прямой к D в точке d. Пусть X будет подмногообразием C × D, состоящим из пар (c, d) таких, что ℓd проходит через c. Для заданного c число точек d, удовлетворяющих условию (c, d) ∈ X, равно 1, если c ∈ C ∩ D, и 2 в противном случае. Таким образом, проекция X → C ≃ P1 представляет X как накрытие степени 2, разветвленное над 4 точками, следовательно, X является эллиптической кривой (после выбора базовой точки на X). Пусть σ будет инволюцией X, отображающей общую точку (c, d) в другую точку (c, d′) с той же первой координатой. Любая инволюция эллиптической кривой с фиксированной точкой, выраженная в групповом законе, имеет вид x → p − x для некоторого p, и σ также имеет такой вид. Аналогично, проекция X → D является морфизмом степени 2, разветвленным в точках касания на D четырех прямых, касающихся как C, так и D, и соответствующая инволюция τ имеет вид x → q − x для некоторого q. Таким образом, композиция στ является сдвигом на X. Если некоторая степень σ имеет фиксированную точку, то эта степень должна быть тождественным преобразованием. Переводя это обратно на язык C и D, получаем, что если одна точка c ∈ C (вместе с соответствующей точкой d) порождает орбиту, которая замыкается (то есть образует n-угольник), то то же самое происходит с любой точкой. Вырожденные случаи, когда C и D не пересекаются трансверсально, следуют из рассмотрения предельного перехода.