Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Санды 2-ге қанша рет бөлуге болады
How many times a number is divisible by 2
Математикада жұп сан, яғни 2-ге бөлінетін сан, 4-ке бөлінсе, "қос жұп" немесе "екі есе жұп" деп, ал бөлінбесе "дақ жұп" немесе "бір есе жұп" деп аталады. Бұл атаулардың алғашқысы ежелгі грек математикасынан келген дәстүрлі атаулар, соңғылары соңғы онжылдықтарда қолданысқа енген. Бұл атаулар сан теориясының негізгі ұғымын көрсетеді: бүтін санның 2-ге бөліну деңгейі, яғни бүтін санды 2-ге қанша рет бөлуге болады. Нақтырақ айтқанда, нөлдік емес бүтін n санының 2-ге бөліну деңгейі – n/2^k бүтін сан болатын k-ның ең үлкен бүтін мәні. Бұл жай 2-нің жай көбейткіштерге жіктелуімен тең. "Бір есе жұп" санды 2-ге бір рет қана бөлуге болады; ол жұп сан, бірақ оның 2-ге бөлінген бөлігі тақ сан. "Қос жұп" сан – 2-ге бірнеше рет бөлінетін бүтін сан; ол жұп сан, және оның 2-ге бөлінген бөлігі де жұп сан. "Дақ жұп" және "қос жұп" сандарды бөлек қарастыру математиканың көптеген салаларында, әсіресе сан теориясында, комбинаторикада, кодтау теориясында (жұп кодтарды қараңыз) және тағы да басқаларда пайдалы.
In mathematics an even integer, that is, a number that is divisible by 2, is called evenly even or doubly even if it is a multiple of 4, and oddly even or singly even if it is not. The former names are traditional ones, derived from ancient Greek mathematics; the latter have become common in recent decades. These names reflect a basic concept in number theory, the 2 order of an integer: how many times the integer can be divided by 2. Specifically, the 2 order of a nonzero integer n is the maximum integer value k such that n/2k is an integer. This is equivalent to the multiplicity of 2 in the prime factorization. A singly even number can be divided by 2 only once; it is even but its quotient by 2 is odd. A doubly even number is an integer that is divisible more than once by 2; it is even and its quotient by 2 is also even. The separate consideration of oddly and evenly even numbers is useful in many parts of mathematics, especially in number theory, combinatorics, coding theory (see even codes), among others.
Дартста қауіпсіз ауттар
Дартс ойынының мақсаты – 0 ұпайға жету, сондықтан ұпайы аз ойыншы жеңіске жетуге жақын болады. Легтің басында "кішірек" сөзінің әдеттегі абсолюттік мәні қолданылады, ал негізгі стратегия – дартс тақтасындағы жоғары құнды аймақтарды нысанаға алу және мүмкіндігінше көп ұпай жинау. Легтің соңында, жеңу үшін қосқа түсіру қажет болғандықтан, 2-лік абсолюттік мән маңызды өлшемге айналады. Кез келген тақ ұпай болсын, оның абсолюттік мәні қаншалықты кішкентай болса да, жеңу үшін кем дегенде екі дарт қажет. 2 мен 40 аралығындағы кез келген жұп ұпай бір дартпен орындалуы мүмкін, ал 40, қате түсірудің салдарынан 2-ге қарағанда әлдеқайда артықшылықты ұпай. Қос сақинаға нысана алғанда жиі болатын қателік – оның орнына бірлікке түсіріп, ұпайдың жартысын жоғалту. Егер ұпай 22 болса (бір жұп сан), ойыншыға қос 11-ге түсіру мүмкіндігі туады. Егер 11-ге бір рет түсірілсе, жаңа ұпай 11-ге тең болады, ол тақ сан, және оны қалпына келтіру үшін кем дегенде екі дарт қажет. Ал қос 12-ге нысана алғанда, сол қателік жасалса да, қатарынан 3 мүмкіндік болады: D12, D6 және D3. Жалпы алғанда, n < 42 ұпай үшін ν2(n) ойындық мүмкіндіктер бар. Сондықтан 1=32 = 25 ұпайы өте жақсы, себебі ол 5 рет бөлінеді.
The object of the game of darts is to reach a score of 0, so the player with the smaller score is in a better position to win. At the beginning of a leg, "smaller" has the usual meaning of absolute value, and the basic strategy is to aim at high value areas on the dartboard and score as many points as possible. At the end of a leg, since one needs to double out to win, the 2 adic absolute value becomes the relevant measure. With any odd score no matter how small in absolute value, it takes at least two darts to win. Any even score between 2 and 40 can be satisfied with a single dart, and 40 is a much more desirable score than 2, due to the effects of missing. A common miss when aiming at the double ring is to hit a single instead and accidentally halve one's score. Given a score of 22 — a singly even number — one has a game shot for double 11. If one hits single 11, the new score is 11, which is odd, and it will take at least two further darts to recover. By contrast, when shooting for double 12, one may make the same mistake but still have 3 game shots in a row: D12, D6, and D3. Generally, with a score of n < 42, one has ν2(n) such game shots. This is why 1=32 = 25 is such a desirable score: it splits 5 times.
Геометриялық топология
Геометриялық топологияда көптеген қасиеттері көптүрліліктердің өлшемдерінің 4-ке немесе 8-ге бөлінген қалдығына ғана байланысты; сондықтан, көбінесе бір жұп және екі жұп өлшемді (4k+2 және 4k) көптүрліліктерді сыныптар ретінде зерттейді. Мысалы, екі жұп өлшемді көптүрліліктердің орташа өлшемді кохомология тобында симметриялық, дегенерацияланбаған екі сызықты форма болады, осылайша ол бүтін санмен өлшенетін қолтаңбаға ие. Керісінше, бір жұп өлшемді көптүрліліктердің орташа өлшемді кохомология тобында қисайған симметриялық, дегенерацияланбаған екі сызықты форма болады; егер осы форманың квадраттық назар аударуын (рамдалған көптүрліліктердегідей) квадраттық форма ретінде анықтаса, онда Arf инвариантын 2-ге бөлінген қалдық бойынша инвариант ретінде алады. Ал, тақ өлшемді көптүрліліктерде мұндай инварианттар жоқ, бірақ алгебралық хирургия теориясында одан күрделі инварианттарды анықтауға болады. Көптүрліліктердің құрылымындағы бұл 4-есе және 8-есе периодтық қасиет L теориясының 4-есе периодтығымен және Ботт периодтығы деп аталатын нақты топологиялық K теориясының 8-есе периодтығымен байланысты. Егер ықшам, бағытталған, тегіс спиндік көптүрліліктің өлшемі n ≡ 4 (mod 8) болса, немесе 1=ν2(n) = 2 болса, онда оның қолтаңбасы 16-ға еселенген бүтін сан болады.
In geometric topology, many properties of manifolds depend only on their dimension mod 4 or mod 8; thus one often studies manifolds of singly even and doubly even dimension (4k+2 and 4k) as classes. For example, doubly even dimensional manifolds have a symmetric nondegenerate bilinear form on their middle dimension cohomology group, which thus has an integer valued signature. Conversely, singly even dimensional manifolds have a skew symmetric nondegenerate bilinear form on their middle dimension; if one defines a quadratic refinement of this to a quadratic form (as on a framed manifold), one obtains the Arf invariant as a mod 2 invariant. Odd dimensional manifolds, by contrast, do not have these invariants, though in algebraic surgery theory one may define more complicated invariants. This 4 fold and 8 fold periodicity in the structure of manifolds is related to the 4 fold periodicity of L theory and the 8 fold periodicity of real topological K theory, which is known as Bott periodicity. If a compact oriented smooth spin manifold has dimension n ≡ 4 mod 8, or 1=ν2(n) = 2 exactly, then its signature is an integer multiple of 16.
Қатысушы жіктелімдер
2-реттік мәнділіктің 0 (mod 4) немесе 2 (mod 4) конгруенттігін анықтай білсе де, 1 (mod 4) және 3 (mod 4) арасындағы айырманы ажырата алмайды. Бұл ерекшелік, мысалы, Ферманың екі квадраттың қосындысы туралы теоремасы сияқты, қызықты салдарларға алып келеді.
Although the 2 order can detect when an integer is congruent to 0 (mod 4) or 2 (mod 4), it cannot tell the difference between 1 (mod 4) or 3 (mod 4). This distinction has some interesting consequences, such as Fermat's theorem on sums of two squares.