Статистикалық емес өзара әрекеттесулерді зерттеу: Биспектр және полиспектр талдауы
Bispectrum
Биспектр: статистикалық талдаудағы сызықсыз өзара әрекеттесуді іздеу құралы. Фурье түрлендіруі, кумулянттар, толқындық өзара әрекеттесулер туралы біліңіз.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, статистикалық талдау саласында, биспектр — сызықтық емес өзара әрекеттесулерді табуға қолданылатын статистикалық шама.
In mathematics, in the area of statistical analysis, the bispectrum is a statistic used to search for nonlinear interactions.
Анықтамалар
Екінші реттік кумулянттың Фурье түрлендірілісі, яғни автокорреляциялық функциясы, дәстүрлі қуат спектрі болып табылады. C3(t1, t2) (үшінші реттік кумулянтты тудыратын функция) Фурье түрлендірілісі биспектр немесе биспектрлік тығыздық деп аталады.
The Fourier transform of the second order cumulant, i. e., the autocorrelation function, is the traditional power spectrum. The Fourier transform of C3(t1, t2) (third order cumulant generating function) is called the bispectrum or bispectral density.
Есептеу
Конвольция теоремасын қолдану биспектрді жылдам есептеуге мүмкіндік береді: , мұнда сигналдың Фурье түрлендіруін, ал оның күйдірмесін білдіреді.
Applying the convolution theorem allows fast calculation of the bispectrum: , where denotes the Fourier transform of the signal, and its conjugate.
Қолданбалар
Бір өлшемде таралатын толқындардың үздіксіз спектрінің сызықтық емес өзара әрекеттесуіне биспектр және бикогеренттілік қолданылуы мүмкін. ЭЭГ сигналдарын мониторингтеу үшін биспектрлік өлшемдер жүргізілді. Сондай-ақ, биспектрлер музыкалық аспаптардың түрлері арасындағы айырмашылықтарды сипаттайтыны көрсетілді. Сейсмологияда сигналдардың ұзақтығы уақыт бойынша орташа есептеулерден ақылға қонымды биспектрлік бағалаулар жасауға жеткіліксіз болады. Биспектрлік талдау екі толқын ұзындығында жасалған байқауларды сипаттайды. Ғалымдар планета атмосферасының элементтік құрамын әртүрлі түсті сүзгілер арқылы шағылысқан және қабылданған жарықтың мөлшерін талдау арқылы оны жиі пайдаланады. Екі сүзгіні біріктіріп, алып тастау арқылы тек екі сүзгіден көп ақпарат алуға болады. Қазіргі заманғы компьютерлік интерполяция арқылы үшінші виртуалды сүзгі жасауға болады, ол нақты түсті фотосуреттерді қайта құруға мүмкіндік береді. Бұл фотосуреттер ғылыми талдау үшін аса пайдалы болмаса да, оқулықтарда және қайырымдылық науқандарында көпшілікке танымал. Биспектрлік талдау Жердегі толқын үлгілері мен толқындардың өзара әрекеттестігін талдау үшін де қолданылуы мүмкін. Анестезияның тереңдігін бақылау үшін ЭЭГ толқын формаларына биспектралды индекс деп аталатын биспектрлік талдау түрі қолданылады. Бифаза (полиспектр фазасы) фазалық байланыстарды анықтау, шуды азайту және полигармоникалық (әсіресе, сөйлеу) сигналдарды талдау үшін қолданылуы мүмкін.
Bispectrum and bicoherence may be applied to the case of non linear interactions of a continuous spectrum of propagating waves in one dimension. Bispectral measurements have been carried out for EEG signals monitoring. It was also shown that bispectra characterize differences between families of musical instruments. In seismology, signals rarely have adequate duration for making sensible bispectral estimates from time averages. Bispectral analysis describes observations made at two wavelengths. It is often used by scientists to analyze elemental makeup of a planetary atmosphere by analyzing the amount of light reflected and received through various color filters. By combining and removing two filters, much can be gleaned from only two filters. Through modern computerized interpolation, a third virtual filter can be created to recreate true color photographs that, while not particularly useful for scientific analysis, are popular for public display in textbooks and fund raising campaigns. Bispectral analysis can also be used to analyze interactions between wave patterns and tides on Earth. A form of bispectral analysis called the bispectral index is applied to EEG waveforms to monitor depth of anesthesia. Biphase (phase of polyspectrum) can be used for detection of phase couplings, noise reduction of polharmonic (particularly, speech ) signal analysis.
Физикалық түсіндірме
Биспектр өзара әрекеттесулердің энергиялық балансын көрсетеді, себебі оны сызықтық емес өзара әрекеттесуге қатысқан толқындардың энергия беретін және энергия қабылдайтын бөліктері арасындағы ковариация ретінде қарастыруға болады. Ал бікогеренттілік – осыған сәйкес келетін корреляциялық коэффициент. Қалай корреляция себеп-салдарлық байланыстың болуын толыққанды көрсетпесе, спектр мен бікогеренттілік те сызықтық емес өзара әрекеттесудің бар екенін толыққанды растай алмайды.
The bispectrum reflects the energy budget of interactions, as it can be interpreted as a covariance defined between energy supplying and energy receiving parties of waves involved in an nonlinear interaction. On the other hand, bicoherence has been proven to be the corresponding correlation coefficient. Just as correlation cannot sufficiently demonstrate the presence of causality, spectrum and bicoherence also cannot sufficiently substantiate the existence of an nonlinear interaction.
Жалпылау
Биспектрлер жоғары ретті спектрлер немесе полиспектрлер санатына жатады және қуат спектріне толықтырушы ақпарат ұсынады. Үшінші ретті полиспектр (биспектр) есептеуге ең оңай, демек, ең көп қолданылады. Осыған ұқсас анықталған статистика – биспектрлік байланыс немесе бикогеренттілік.
Bispectra fall in the category of higher order spectra, or polyspectra and provide supplementary information to the power spectrum. The third order polyspectrum (bispectrum) is the easiest to compute, and hence the most popular. A statistic defined analogously is the bispectral coherency or bicoherence.
Триспектр
C4 (t1, t2, t3) (төртінші реттік кумулятивті генерациялау функциясы) Фурье түрлендірілісі триспектр немесе триспектрлік тығыздық деп аталады. Триспектр T(f1, f2, f3) жоғары ретті спектрлер немесе полиспектрлер санатына жатады және қуат спектріне қосымша ақпарат береді. Триспектр – үш өлшемді құрылым. Триспектрдің симметриясы 1 – Найквист жиілігі болатын, төмендегі төбелерде орналасқан, қолдау жиынтығын қатты қысқартуға мүмкіндік береді: (0,0,0), (1/2, 1/2, 1/2), (1/3, 1/3, 0), (1/2, 0, 0), (1/4, 1/4, 1/4). (1/6, 1/6, 1/6), (1/4, 1/4, 0) және (1/2, 0, 0) нүктелерін қамтитын жазықтық осы көлемді ішкі және сыртқы аймақтарға бөледі. Стационарлық сигналдың сыртқы аймағындағы күші нөлге тең (статистикалық тұрғыдан). Триспектрлік қолдау жоғарыда көрсетілген жазықтықпен және (f1, f2) жазықтығымен аймақтарға бөлінеді. Әр аймақта нөлден өзге мәндерге қол жеткізу үшін қажетті сигналдың жолақтығына қатысты әртүрлі талаптар бар. Биспектр сигналдың қисықтығына жиілік үштігі арқылы қандай үлес қосатынын анықтаса, триспектр сигналдың куртозына жиілік төрттігі арқылы қандай үлес қосатынын анықтайды. Триспектр қабат құрылымын табу үшін сейсмикалық деректерді деконволюциялау кезінде қолданылатын максималды куртоздық фазалық бағалаудың қолданылу салаларын зерттеу үшін пайдаланылған.
The Fourier transform of C4 (t1, t2, t3) (fourth order cumulant generating function) is called the trispectrum or trispectral density. The trispectrum T(f1,f2,f3) falls into the category of higher order spectra, or polyspectra, and provides supplementary information to the power spectrum. The trispectrum is a three dimensional construct. The symmetries of the trispectrum allow a much reduced support set to be defined, contained within the following vertices, where 1 is the Nyquist frequency. (0,0,0) (1/2,1/2, 1/2) (1/3,1/3,0) (1/2,0,0) (1/4,1/4,1/4). The plane containing the points (1/6,1/6,1/6) (1/4,1/4,0) (1/2,0,0) divides this volume into an inner and an outer region. A stationary signal will have zero strength (statistically) in the outer region. The trispectrum support is divided into regions by the plane identified above and by the (f1,f2) plane. Each region has different requirements in terms of the bandwidth of signal required for non zero values. In the same way that the bispectrum identifies contributions to a signal's skewness as a function of frequency triples, the trispectrum identifies contributions to a signal's kurtosis as a function of frequency quadruplets. The trispectrum has been used to investigate the domains of applicability of maximum kurtosis phase estimation used in the deconvolution of seismic data to find layer structure.