Биспектр и полиспектры: анализ нелинейных взаимодействий и высших порядков спектров.
Bispectrum
Биспектр в статистическом анализе: выявление нелинейных взаимодействий сигналов. Быстрое вычисление через преобразование Фурье. Применение в анализе волн.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике, в области статистического анализа, биспектр — это статистическая характеристика, используемая для выявления нелинейных взаимодействий.
In mathematics, in the area of statistical analysis, the bispectrum is a statistic used to search for nonlinear interactions.
Определения
Трансформация Фурье кумулянта второго порядка, то есть функция автокорреляции, является традиционным спектром мощности. Трансформация Фурье C3(t1, t2) (кумулятивная генерирующая функция третьего порядка) называется биспектром или биспектральной плотностью.
The Fourier transform of the second order cumulant, i. e., the autocorrelation function, is the traditional power spectrum. The Fourier transform of C3(t1, t2) (third order cumulant generating function) is called the bispectrum or bispectral density.
Расчет
Применение теоремы свёртки позволяет быстро вычислить биспектр: , где обозначает преобразование Фурье сигнала, а — его комплексное сопряжение.
Applying the convolution theorem allows fast calculation of the bispectrum: , where denotes the Fourier transform of the signal, and its conjugate.
Приложения
Биспектр и бикогерентность могут быть применены к случаю нелинейных взаимодействий непрерывного спектра распространяющихся волн в одном измерении. Биспектральные измерения проводились для мониторинга сигналов ЭЭГ. Также было показано, что биспектры характеризуют различия между семействами музыкальных инструментов. В сейсмологии сигналы редко обладают достаточной длительностью для получения осмысленных биспектральных оценок на основе усреднения по времени. Биспектральный анализ описывает наблюдения, выполненные на двух длинах волн. Ученые часто используют его для анализа элементарного состава атмосферы планеты, анализируя количество отраженного и принятого света через различные цветные фильтры. Комбинируя и исключая два фильтра, можно получить значимую информацию, используя только два фильтра. Благодаря современной компьютеризированной интерполяции можно создать третий виртуальный фильтр для воссоздания цветных фотографий, которые, хотя и не особенно полезны для научного анализа, популярны для публичного представления в учебниках и в кампаниях по сбору средств. Биспектральный анализ также может использоваться для анализа взаимодействия между волновыми паттернами и приливами на Земле. Форма биспектрального анализа, называемая биспектральным индексом, применяется к формам волн ЭЭГ для мониторинга глубины анестезии. Бифаза (фаза полиспектра) может использоваться для обнаружения фазовой синхронизации и снижения шума при полигармоническом (в частности, речевом) анализе сигналов.
Bispectrum and bicoherence may be applied to the case of non linear interactions of a continuous spectrum of propagating waves in one dimension. Bispectral measurements have been carried out for EEG signals monitoring. It was also shown that bispectra characterize differences between families of musical instruments. In seismology, signals rarely have adequate duration for making sensible bispectral estimates from time averages. Bispectral analysis describes observations made at two wavelengths. It is often used by scientists to analyze elemental makeup of a planetary atmosphere by analyzing the amount of light reflected and received through various color filters. By combining and removing two filters, much can be gleaned from only two filters. Through modern computerized interpolation, a third virtual filter can be created to recreate true color photographs that, while not particularly useful for scientific analysis, are popular for public display in textbooks and fund raising campaigns. Bispectral analysis can also be used to analyze interactions between wave patterns and tides on Earth. A form of bispectral analysis called the bispectral index is applied to EEG waveforms to monitor depth of anesthesia. Biphase (phase of polyspectrum) can be used for detection of phase couplings, noise reduction of polharmonic (particularly, speech ) signal analysis.
Физическая интерпретация
Биспектр отражает энергетический баланс взаимодействий, поскольку его можно интерпретировать как ковариацию, определяемую между волнами, передающими и принимающими энергию в нелинейном взаимодействии. С другой стороны, было доказано, что бикогерентность является соответствующим коэффициентом корреляции. Подобно тому, как корреляция не может в достаточной мере продемонстрировать наличие причинно-следственной связи, спектр и бикогерентность также не могут в достаточной мере подтвердить существование нелинейного взаимодействия.
The bispectrum reflects the energy budget of interactions, as it can be interpreted as a covariance defined between energy supplying and energy receiving parties of waves involved in an nonlinear interaction. On the other hand, bicoherence has been proven to be the corresponding correlation coefficient. Just as correlation cannot sufficiently demonstrate the presence of causality, spectrum and bicoherence also cannot sufficiently substantiate the existence of an nonlinear interaction.
Обобщения
Биспектры относятся к категории спектров высшего порядка, или полиспектров, и предоставляют дополнительную информацию к спектру мощности. Полиспектр третьего порядка (биспектр) – наиболее простой в вычислении и, следовательно, наиболее распространенный. Статистическая величина, определяемая аналогичным образом, называется биспектральной когерентностью или бикогерентностью.
Bispectra fall in the category of higher order spectra, or polyspectra and provide supplementary information to the power spectrum. The third order polyspectrum (bispectrum) is the easiest to compute, and hence the most popular. A statistic defined analogously is the bispectral coherency or bicoherence.
Триспектр
Трансформация Фурье C4 (t1, t2, t3) (кумулятивная генерирующая функция четвертого порядка) называется триспектром или триспектровой плотностью. Триспектр T(f1, f2, f3) относится к категории спектров высшего порядка, или полиспектров, и предоставляет дополнительную информацию к спектру мощности. Триспектр представляет собой трехмерную структуру. Симметрии триспектра позволяют определить значительно уменьшенный набор поддержки, содержащийся в следующих вершинах, где 1 – частота Найквиста: (0,0,0), (1/2, 1/2, 1/2), (1/3, 1/3, 0), (1/2, 0, 0), (1/4, 1/4, 1/4). Плоскость, содержащая точки (1/6, 1/6, 1/6), (1/4, 1/4, 0) и (1/2, 0, 0), делит этот объем на внутреннюю и внешнюю области. Стационарный сигнал будет иметь нулевую мощность (статистически) во внешней области. Область поддержки триспектра разделяется на регионы плоскостью, указанной выше, и плоскостью (f1, f2). Каждый регион имеет различные требования к полосе пропускания сигнала, необходимой для ненулевых значений. Подобно тому, как биспектр определяет вклад в асимметрию сигнала в зависимости от частотных троек, триспектр определяет вклад в эксцесс сигнала в зависимости от частотных четверок. Триспектр использовался для исследования областей применимости оценки фазы максимального эксцесса, применяемой при деконволюции сейсмических данных для определения структуры слоев.
The Fourier transform of C4 (t1, t2, t3) (fourth order cumulant generating function) is called the trispectrum or trispectral density. The trispectrum T(f1,f2,f3) falls into the category of higher order spectra, or polyspectra, and provides supplementary information to the power spectrum. The trispectrum is a three dimensional construct. The symmetries of the trispectrum allow a much reduced support set to be defined, contained within the following vertices, where 1 is the Nyquist frequency. (0,0,0) (1/2,1/2, 1/2) (1/3,1/3,0) (1/2,0,0) (1/4,1/4,1/4). The plane containing the points (1/6,1/6,1/6) (1/4,1/4,0) (1/2,0,0) divides this volume into an inner and an outer region. A stationary signal will have zero strength (statistically) in the outer region. The trispectrum support is divided into regions by the plane identified above and by the (f1,f2) plane. Each region has different requirements in terms of the bandwidth of signal required for non zero values. In the same way that the bispectrum identifies contributions to a signal's skewness as a function of frequency triples, the trispectrum identifies contributions to a signal's kurtosis as a function of frequency quadruplets. The trispectrum has been used to investigate the domains of applicability of maximum kurtosis phase estimation used in the deconvolution of seismic data to find layer structure.