Кіріспе
Ит математикада, әсіресе алгебралық геометрия саласында, Чоу сорты – алгебралық сорт, оның нүктелері берілген проективті кеңістіктегі белгілі бір өлшем мен дәрежедегі тиімді алгебралық циклдарға сәйкес келеді. Нақтырақ айтқанда, Чоу сорты – өлшемi мен дәрежесi белгілі тиімді алгебралық циклдардың барлығын параметрлейтін нақты модульдер сорты. Чоу сортын жеткілікті үлкен проективті кеңістікке Чоу ендірілімі арқылы құрастыруға болады. Бұл Грасманн сортын Плюкер ендірілімі арқылы құрастырудың тікелей жалпыламасы, себебі Грасманн сорттары – Чоу сорттарының ерекше жағдайы. Чоу сорттары Чоу топтарынан өзгеше, олар – рационалды теңдестікке дейін созылған, кез келген сорттағы (әдетте проективті кеңістік емес) барлық алгебралық циклдардың абелдік тобы. Екеуі де алгебралық циклдарды зерттеудегі пионер Вей Лян Чжоудың (周煒良) құрметіне аталған.
In mathematics, particularly in the field of algebraic geometry, a Chow variety is an algebraic variety whose points correspond to effective algebraic cycles of fixed dimension and degree on a given projective space. More precisely, the Chow variety is the fine moduli variety parametrizing all effective algebraic cycles of dimension and degree in
The Chow variety may be constructed via a Chow embedding into a sufficiently large projective space. This is a direct generalization of the construction of a Grassmannian variety via the Plücker embedding, as Grassmannians are the case of Chow varieties. Chow varieties are distinct from Chow groups, which are the abelian group of all algebraic cycles on a variety (not necessarily projective space) up to rational equivalence. Both are named for Wei Liang Chow (周煒良), a pioneer in the study of algebraic cycles.
Chow сорттарының мысалдары
Чуа сорттарының ерекше құрылымы бар үш арнайы классы бар.
1-дәреже: Ішкі кеңістіктер
К1 өлшемді және 1 дәрежелі тиімді алгебралық цикл – n өлшемді аффиндік кеңістіктің k өлшемді кіші кеңістігінің проективтенуі болып табылады. Бұл Грасманн сортына изоморфизмді береді:
Соңғы кеңістікте Плюккер координаталарымен берілген біртекті координаталар жүйесі бар.
0 өлшем: Нүктелер
0 өлшемді және d дәрежелі тиімді алгебралық цикл — бұл нүктелердің (ретсіз) d-тік тобы, қайталануы мүмкін. Бұл симметриялық қуаттың изоморфизмін береді: .
.
1-бөлім: Бөлгіштер
Кодименсиясы 1 және дәрежесі d болатын тиімді алгебралық циклді n саны көп айнымалыдағы бір d дәрежелі полиномиалдың жоғалуы арқылы анықтауға болады, және бұл полиномиал масштабтауға дейін бірегей. n саны көп айнымалыдағы d дәрежелі полиномиалдардың векторлық кеңістігін белгілейік, бұл проективті кеңістікке изоморфизм береді: Аталған кеңістіктің ерекше гомогенді координаттар жүйесі бар екенін ескеріңіз, ол полиномиалды белгілі бір мономиалдың коэффициентіне сәйкестендіреді.
Елеусіз мысал
Chow сорты 1 өлшемді, 2 дәрежелі циклдарды параметрлейді. Бұл Chow сортының екі азайтылмайтын компоненті бар. Бұл екі 8 өлшемді компонент, сызықтардың бір жазықтықтағы жұптарының модульдерінде қиылысады, бұл осының нәтижесінде, жоғарыдағы ерекше жағдайлардан өзгеше, Chow сорттары тегіс немесе азайтылмайтын болуы міндетті емес екенін көрсетеді.
Шоу-құрастыру
X өлшемді k+1 және d дәрежелі in азайтылмайтын субвариант болсын. Дәреже анықтамасы бойынша, X-тің ең көп өлшемді проективті субкеңістіктері d нүктеде қиылысады. Керісінше, X-тің проекциялық субкеңістіктерінің көпшілігі X-пен мүлдем қиылыспайды. Бұл келесідей нақтырақ айтуға болады. Лемма. X-пен тривиальды емес түрде қиылысатын субкеңістіктерді параметрлейтін жиын d дәрежелі азайтылмайтын гипербет болып табылады.
Нәтижесінде, d дәрежелі форма бар, ол дәл X-те ғана нөлге тең болады, және бұл форма масштабтауға дейін бірегей. Бұл құрылымды алгебралық циклге кеңейтуге болады: әр d дәрежелі алгебралық циклге X-тің Chow формасы деп аталатын d дәрежелі форманы сәйкес қою арқылы, ол масштабтауға дейін жақсы анықталған. d дәрежелі формалардың векторлық кеңістігін деп белгілейік.
The Chow van der Waerden Theorem. The map which sends is a closed embedding of varieties. In particular, an effective algebraic cycle X is determined by its Chow form
Chow van der Waerden теоремасы. картасы түрлердің жабық кіріктірілуі болып табылады. Атап айтқанда, тиімді алгебралық цикл X оның Chow формасымен анықталады. Егер үшін негіз таңдалса, осы негіздегі коэффициенттерге жіберу Chow түріндегі біртекті координаттар жүйесін береді, оны Chow координаттары деп атайды. Алайда, үшін «жақсы» негіз туралы консенсус болмағандықтан, бұл термин екіұшты болуы мүмкін. Негізгі тұрғысынан қарағанда, жоғарыда аталған теорема көбінесе анықтама ретінде қолданылады. Яғни, Chow түрілiгi көбінесе, -ның субтүрлiгi ретiнде анықталады, содан кейін ғана ол осы модульдер проблемасы үшін жақсы модульдер кеңістігі екені көрсетіледі.
Гилберт схемасымен байланысы
Дегенерацияланған субварианттың дәрежесін «дұрыс» есептеу мәселесін шешудің күрделірек жолы – субварианттар емес, субсхемалармен жұмыс істеу. Схемалар сорттар мен алгебралық циклдер сақтай алмайтын инфинитезималдық ақпаратты сақтай алады. Мысалы, егер алгебралық отбасыдағы екі нүкте бір-біріне жақындаса, шектес субвариант – бір нүкте, шектес алгебралық цикл – 2-дәрежелі нүкте, ал шектес субсхема – екі нүкте соқтығысқан жанама бағытын қамтитын «семіз нүкте» болады. Гилберт схемасы – k-1 өлшемді және d дәрежелі жабық кіші схемалардың нақты модульдер схемасы. Әрбір жабық кіші схема тиімді алгебралық циклді анықтайды, ал туындаған бейнелеу циклдік бейнелеу немесе Гилберт-Чоу морфизмі деп аталады. Бұл бейнелеу d дәрежелі бөлшекті субварианттарына сәйкес келетін нүктелерде изоморфизм болып табылады, бірақ қарапайым емес алгебралық циклдардағы талшықтар әлдеқайда қызықты болуы мүмкін.
Шоу үлесі
Чоу коэффициенті жалпы орбиталардың жабылуларын параметрлейді. Ол Чоу сорттарының жабық кіші сорттары ретінде құрастырылады. Капранов теоремасы бойынша, n белгіленген нүктесі бар тұрақты нөлдік қисықтардың модульдік кеңістігі – Грасманнның стандартты максималды торы бойынша Чоу коэффициенті болып табылады.