Введение

В математике, особенно в области алгебраической геометрии, многообразие Чоу — это алгебраическое многообразие, точки которого соответствуют эффективным алгебраическим циклам фиксированной размерности и степени на заданном проективном пространстве. Более точно, многообразие Чоу — это тонкое многообразие модулей, параметризующее все эффективные алгебраические циклы размерности и степени в проективном пространстве. Многообразие Чоу может быть построено посредством вложения Чоу в достаточно большое проективное пространство. Это прямое обобщение построения грассманианового многообразия посредством вложения Плюккера, поскольку грассманианы являются частным случаем многообразий Чоу. Многообразия Чоу отличаются от групп Чоу, которые представляют собой абелеву группу всех алгебраических циклов на многообразии (не обязательно проективном пространстве) с точностью до рациональной эквивалентности. Оба названы в честь Вэй Ляна Чжоу (周煒良), пионера в изучении алгебраических циклов.

Примеры сортов чау

Существуют три особых класса многообразий Чоу с особенно простой конструкцией.

Степень 1: Подпространства

Эффективный алгебраический цикл в размерности k-1 и степени 1 является проективизацией k-мерного подпространства n-мерного аффинного пространства. Это дает изоморфизм с грассманианом: последнее пространство имеет выделенную систему однородных координат, заданную координатами Плюккера.

Размер 0: баллы

Эффективный алгебраический цикл в размерности 0 и степени d — это (неупорядоченная) d-кортеж точек в , возможно, с повторениями. Это определяет изоморфизм в симметрическую степень: .

Кодименсия 1: Разделители

Эффективный алгебраический цикл в кодименсии 1 и степени d может быть определен исчезновением одного многочлена степени d от n переменных, и этот многочлен определен с точностью до умножения на константу. Обозначая через векторное пространство многочленов степени d от n переменных, получаем изоморфизм с проективным пространством: заметим, что последнее пространство имеет выделенную систему однородных координат, отображающих многочлен в коэффициент фиксированного монома.

Нетривиальный пример

Сорт Чоу параметризует циклы размерности 1 и степени 2 в . Этот сорт Чоу имеет два неразложимых компонента. Эти два 8-мерных компонента пересекаются в пространстве модулей компланарных пар прямых, которое является сингулярным локусом в . Это показывает, что, в отличие от вышеупомянутых частных случаев, сорта Чоу не обязаны быть гладкими или неразложимыми.

Вставка чау

Пусть X — необратимая подвариантность в размерности k+1 и степени d. По определению степени, большинство (k+1)-мерных проективных подпространств пересекают X в d точках. Напротив, большинство (k+1)-мерных проективных подпространств вообще не пересекают X. Это можно уточнить следующим образом. Лемма. Множество, параметризующее подпространства, которые нетривиально пересекают X, является необратимой гиперповерхностью степени d.

Следовательно, существует форма степени d на , которая обращается в нуль точно на X, и эта форма определена с точностью до масштабирования. Эту конструкцию можно расширить до алгебраического цикла, определив, что каждой алгебраической циклу степени d соответствует форма степени d на , называемая формой Чау цикла X, которая определена с точностью до масштабирования. Пусть обозначает векторное пространство форм степени d на .

Теорема Чоу — ван дер Вардена. Отображение , которое посылает , является замкнутым вложением многообразий. В частности, эффективный алгебраический цикл X определяется своей формой Чау. Если для выбран базис , то отображение , посылающее в коэффициенты в этом базисе, задает систему однородных координат на многообразии Чау , называемых координатами Чау. Однако, поскольку нет единого мнения о «наилучшем» базисе для , этот термин может быть неоднозначным. С фундаментальной точки зрения, вышеупомянутая теорема обычно используется в качестве определения . То есть, многообразие Чау обычно определяется как подмногообразие , и только затем доказывается, что оно является тонким пространством модулей для рассматриваемой задачи модулей.

Связь с схемой Гильберта

Более изящное решение проблемы «правильного» подсчета степени дегенерации подмногообразий — работа с подсхемами, а не с подмногообразиями. Схемы способны учитывать инфинитезимальную информацию, которую не могут отслеживать многообразия и алгебраические циклы. Например, если две точки на многообразии сближаются в алгебраическом семействе, предельное подмногообразие является одной точкой, предельный алгебраический цикл — точкой кратности 2, а предельная подсхема — «толстой точкой», содержащей касательное направление, вдоль которого произошло столкновение двух точек. Схема Гильберта — это схема тонких модулей замкнутых подсхем размерности k-1 и степени d внутри . Каждая замкнутая подсхема определяет эффективный алгебраический цикл, и индуцированное отображение называется отображением цикла или морфизмом Гильберта — Чоу. Это отображение является изоморфизмом над точками, соответствующими неприводимым подмногообразиям степени d, но волокна над неразложимыми алгебраическими циклами могут быть более интересными.

Частный коэффициент

Коэффициент Чоу параметризует замыкания общих орбит. Он строится как замкнутое подмногообразие многообразия Чоу. Теорема Капранова утверждает, что модульное пространство стабильных кривых рода нуль с n отмеченными точками является коэффициентом Чоу грассманиана по стандартному максимальномутору.