Кіріспе
Жалпы салыстырмалылық теориясындағы термин
Жалпы салыстырмалылық теориясында Гиббонс-Хокинг-Йорк шекаралық термині – негізгі кеңістік-уақыт манифольдының шекарасы болғанда Эйнштейн-Хилберт әрекетіне қосылуы тиіс термин. Эйнштейн-Хилберт әрекеті – жалпы салыстырмалылық теориясының өріс теңдеулерін анықтауға мүмкіндік беретін ең қарапайым вариациялық принциптің негізі. Дегенмен, Эйнштейн-Хилберт әрекетін қолдану тек негізгі кеңістік-уақыт манифольды жабық болғанда ғана орынды, яғни манифольд компактты және шекарасыз. Манифольд шекараға ие болған жағдайда, вариациялық принцип дұрыс анықталсын үшін әрекетті шекаралық терминмен толықтыру қажет. Мұндай шекаралық терминнің қажеттілігін алғаш Джеймс У. Йорк көрсетті, ал кейін Гари Гиббонс және Стивен Хокинг оны аз ғып өзгертіп, жетілдірді. Жабық емес манифольд үшін тиісті әрекет:
In general relativity, the Gibbons–Hawking–York boundary term is a term that needs to be added to the Einstein–Hilbert action when the underlying spacetime manifold has a boundary. The Einstein–Hilbert action is the basis for the most elementary variational principle from which the field equations of general relativity can be defined. However, the use of the Einstein–Hilbert action is appropriate only when the underlying spacetime manifold is closed, i. e., a manifold which is both compact and without boundary. In the event that the manifold has a boundary , the action should be supplemented by a boundary term so that the variational principle is well defined. The necessity of such a boundary term was first realised by James W. York and later refined in a minor way by Gary Gibbons and Stephen Hawking. For a manifold that is not closed, the appropriate action is
where is the Einstein–Hilbert action, is the Gibbons–Hawking–York boundary term, is the induced metric (see section below on definitions) on the boundary, its determinant, is the trace of the second fundamental form, is equal to where the normal to is spacelike and where the normal to is timelike, and are the coordinates on the boundary. Varying the action with respect to the metric , subject to the condition
gives the Einstein equations; the addition of the boundary term means that in performing the variation, the geometry of the boundary encoded in the transverse metric is fixed (see section below). There remains ambiguity in the action up to an arbitrary functional of the induced metric
That a boundary term is needed in the gravitational case is because , the gravitational Lagrangian density, contains second derivatives of the metric tensor. This is a non typical feature of field theories, which are usually formulated in terms of Lagrangians that involve first derivatives of fields to be varied over only. The GHY term is desirable, as it possesses a number of other key features. When passing to the Hamiltonian formalism, it is necessary to include the GHY term in order to reproduce the correct Arnowitt–Deser–Misner energy (ADM energy). The term is required to ensure the path integral (a la Hawking) for quantum gravity has the correct composition properties. When calculating black hole entropy using the Euclidean semiclassical approach, the entire contribution comes from the GHY term. This term has had more recent applications in loop quantum gravity in calculating transition amplitudes and background independent scattering amplitudes. In order to determine a finite value for the action, one may have to subtract off a surface term for flat spacetime:
where is the extrinsic curvature of the boundary imbedded flat spacetime. As is invariant under variations of , this addition term does not affect the field equations; as such, this is referred to as the non dynamical term.
мұнда – Эйнштейн-Хилберт әрекеті, – Гиббонс-Хокинг-Йорк шекаралық термині, – шекарадағы индукцияланған метрика (төмендегі анықтамалар бөлімін қараңыз), – оның анықтамасы, – екінші негізгі форманың іздері, – нормаль вектор кеңістікке перпендикуляр болғандағы және – нормаль вектор уақытқа перпендикуляр болғандағы шамалар, ал – шекарадағы координаттар. Метрикаға қатысты әрекетті өзгерту, шартты орындау арқылы Эйнштейн теңдеулерін береді; шекаралық терминді қосу, вариацияны орындау кезінде көлденең метрикада кодталған шекараның геометриясы бекітілгенін білдіреді (төмендегі бөлімді қараңыз). Әрекетте белгісіздік қалпында, индукцияланған метриканың кез келген функционалына дейін. Гравитациялық жағдайда шекаралық термин қажет, себебі , гравитациялық Лагранж тығыздығы, метрикалық тензордың екінші туындыларын қамтиды. Бұл өрістер теориясының ерекше емес ерекшелігі, олар әдетте тек өрістердің бірінші туындыларын қамтитын Лагранждықтар арқылы құрастырылады. GHY термині қажет, өйткені ол бірқатар маңызды қасиеттерге ие. Гамильтон формализміне өту кезінде, дұрыс Арновитт-Десер-Миснер энергиясын (АДМ энергиясы) алу үшін GHY терминін қосу қажет. Бұл термин кванттық гравитация үшін жол интегралының (Хокинг бойынша) дұрыс құрамдық қасиеттеріне ие болуын қамтамасыз етеді. Евклидтік жартылай классикалық тәсілді қолдана отырып, қара тесіктің энтропиясын есептеу кезінде барлық үлес GHY терминен келеді. Бұл термин соңғы уақыттарда циклдік кванттық гравитацияда ауысу амплитудаларын және фонға тәуелсіз шашырау амплитудаларын есептеуде қолданылды. Әрекеттің шекті мәнін анықтау үшін, тегіс кеңістік-уақыт үшін беттік термін алып тастау қажет болуы мүмкін:
In general relativity, the Gibbons–Hawking–York boundary term is a term that needs to be added to the Einstein–Hilbert action when the underlying spacetime manifold has a boundary. The Einstein–Hilbert action is the basis for the most elementary variational principle from which the field equations of general relativity can be defined. However, the use of the Einstein–Hilbert action is appropriate only when the underlying spacetime manifold is closed, i. e., a manifold which is both compact and without boundary. In the event that the manifold has a boundary , the action should be supplemented by a boundary term so that the variational principle is well defined. The necessity of such a boundary term was first realised by James W. York and later refined in a minor way by Gary Gibbons and Stephen Hawking. For a manifold that is not closed, the appropriate action is
where is the Einstein–Hilbert action, is the Gibbons–Hawking–York boundary term, is the induced metric (see section below on definitions) on the boundary, its determinant, is the trace of the second fundamental form, is equal to where the normal to is spacelike and where the normal to is timelike, and are the coordinates on the boundary. Varying the action with respect to the metric , subject to the condition
gives the Einstein equations; the addition of the boundary term means that in performing the variation, the geometry of the boundary encoded in the transverse metric is fixed (see section below). There remains ambiguity in the action up to an arbitrary functional of the induced metric
That a boundary term is needed in the gravitational case is because , the gravitational Lagrangian density, contains second derivatives of the metric tensor. This is a non typical feature of field theories, which are usually formulated in terms of Lagrangians that involve first derivatives of fields to be varied over only. The GHY term is desirable, as it possesses a number of other key features. When passing to the Hamiltonian formalism, it is necessary to include the GHY term in order to reproduce the correct Arnowitt–Deser–Misner energy (ADM energy). The term is required to ensure the path integral (a la Hawking) for quantum gravity has the correct composition properties. When calculating black hole entropy using the Euclidean semiclassical approach, the entire contribution comes from the GHY term. This term has had more recent applications in loop quantum gravity in calculating transition amplitudes and background independent scattering amplitudes. In order to determine a finite value for the action, one may have to subtract off a surface term for flat spacetime:
where is the extrinsic curvature of the boundary imbedded flat spacetime. As is invariant under variations of , this addition term does not affect the field equations; as such, this is referred to as the non dynamical term.
мұнда – шекараға енгізілген тегіс кеңістік-уақыттың сыртқы қисықтығы. , метриканың вариацияларына қатысты инвариантты болғандықтан, бұл қосымша термин өріс теңдеулеріне әсер етпейді; осылайша, бұл динамикалық емес термин деп аталады.
In general relativity, the Gibbons–Hawking–York boundary term is a term that needs to be added to the Einstein–Hilbert action when the underlying spacetime manifold has a boundary. The Einstein–Hilbert action is the basis for the most elementary variational principle from which the field equations of general relativity can be defined. However, the use of the Einstein–Hilbert action is appropriate only when the underlying spacetime manifold is closed, i. e., a manifold which is both compact and without boundary. In the event that the manifold has a boundary , the action should be supplemented by a boundary term so that the variational principle is well defined. The necessity of such a boundary term was first realised by James W. York and later refined in a minor way by Gary Gibbons and Stephen Hawking. For a manifold that is not closed, the appropriate action is
where is the Einstein–Hilbert action, is the Gibbons–Hawking–York boundary term, is the induced metric (see section below on definitions) on the boundary, its determinant, is the trace of the second fundamental form, is equal to where the normal to is spacelike and where the normal to is timelike, and are the coordinates on the boundary. Varying the action with respect to the metric , subject to the condition
gives the Einstein equations; the addition of the boundary term means that in performing the variation, the geometry of the boundary encoded in the transverse metric is fixed (see section below). There remains ambiguity in the action up to an arbitrary functional of the induced metric
That a boundary term is needed in the gravitational case is because , the gravitational Lagrangian density, contains second derivatives of the metric tensor. This is a non typical feature of field theories, which are usually formulated in terms of Lagrangians that involve first derivatives of fields to be varied over only. The GHY term is desirable, as it possesses a number of other key features. When passing to the Hamiltonian formalism, it is necessary to include the GHY term in order to reproduce the correct Arnowitt–Deser–Misner energy (ADM energy). The term is required to ensure the path integral (a la Hawking) for quantum gravity has the correct composition properties. When calculating black hole entropy using the Euclidean semiclassical approach, the entire contribution comes from the GHY term. This term has had more recent applications in loop quantum gravity in calculating transition amplitudes and background independent scattering amplitudes. In order to determine a finite value for the action, one may have to subtract off a surface term for flat spacetime:
where is the extrinsic curvature of the boundary imbedded flat spacetime. As is invariant under variations of , this addition term does not affect the field equations; as such, this is referred to as the non dynamical term.
Өтпелі амплитудалар және Гамильтонның негізгі функциясы
Кванттық теорияда Гамильтонның негізгі функциясына сәйкес келетін объект – ауысу амплитудасы. Бір-біріне жалғанған кеңістік-уақыттың төрт өлшемді шар топологиясымен шектелген аймақта анықталған гравитацияны қарастырайық. Бұл аймақтың шекарасы үш сфера топологиясымен үш өлшемді кеңістік болып табылады, оны біз шекара деп атаймыз. Космологиялық тұрақты жоқ таза гравитацияда, Риччи скаляры Эйнштейн теңдеулерінің шешімдерінде нөлге тең болғандықтан, көлемдік әрекет нөлге тең болады және Гамильтонның негізгі функциясы толығымен шекаралық мүшемен беріледі, мұнда шекараның сыртқы қисықтығы, шекарадағы үштік метрика және шекарадағы координаттар болады. Функционалды есептеу өте қиын; себебі сыртқы қисықтық шекараның ішкі геометриясымен анықталатын көлемдік шешіммен анықталады. Сондықтан ол жергілікті емес. -ның -ға тәуелділігін білу Эйнштейн теңдеулерінің жалпы шешімін білумен эквивалентті.
where is the extrinsic curvature of the boundary, is the three metric induced on the boundary, and are coordinates on the boundary. The functional is a highly non trivial functional to compute; this is because the extrinsic curvature is determined by the bulk solution singled out by the boundary intrinsic geometry. As such is non local. Knowing the general dependence of from is equivalent to knowing the general solution of the Einstein equations.
Қорға тәуелсіз шашырау амплитудасы
Циклдік кванттық гравитация фонға тәуелсіз тілмен құрастырылған. Алдын ала ешқандай уақыт-кеңістік болмайды, керісінше, ол теорияның өзінің күйлері арқылы салынады, бірақ шашырау амплитудалары нүктелік функциялардан (корреляциялық функция (кванттық өріс теориясы)) туындайды және олар, дәстүрлі кванттық өріс теориясында қалыптасқан, фондық уақыт-кеңістіктің нүктелерінің функциялары болып табылады. Фонға тәуелсіз формализм мен белгілі бір уақыт-кеңістіктегі кванттық өріс теориясының дәстүрлі формализмі арасындағы байланыс айқын емес, сондай-ақ толық фонға тәуелсіз теориядан төмен энергия шамаларын қалай алу керектігі де айқын емес. Теорияның нүктелік функцияларын фонға тәуелсіз формализмнен шығарып, оларды кванттық жалпы салыстырмалылықтың стандартты бұзылу теориясымен салыстыру және циклдік кванттық гравитация дұрыс төмен энергия шектерін беретінін тексеру қажет. Бұл мәселені шешу үшін стратегия ұсынылды; идея – уақыт-кеңістік аймағының ықшам аймағының шекара амплитудасын немесе ауысу амплитудасын зерттеу, яғни, шекті уақыт-кеңістік аймағындағы жол интегралын, өрістің шекаралық мәнінің функциясы ретінде қарастыру. Дәстүрлі кванттық өріс теориясында бұл шекара амплитудасы жақсы анықталған және теорияның физикалық ақпаратын кодтайды; ол кванттық гравитацияда да, бірақ толығымен фонға тәуелсіз түрде осылай істейді. Нүктелік функциялардың жалпы ковариантты анықтамасы, содан кейін, нүктелік функцияның физикалық нүктелері арасындағы қашықтық қарастырылатын уақыт-кеңістік аймағының шекарасындағы гравитациялық өрістің күйімен анықталады деген ойға негізделуі мүмкін. Басты байқау – гравитацияда шекаралық деректер гравитациялық өрісті, соның салдарынан шекараның геометриясын, сонымен қатар барлық тиісті салыстырмалы қашықтықтар мен уақыт аралықтарын қамтиды. Басқаша айтқанда, шекаралық формула кванттық контексте уақыт-кеңістік геометриясы мен динамикалық өрістер арасындағы толық сәйкестікті өте әдемі түрде жүзеге асырады.