Бернулли схемасы: екі нәтижеден артық мүмкіндіктерді қарастыратын математикалық үлгі. Динамикалық жүйелерді зерттеуде маңызды, Markov бөліміне негізделген.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Бернулли процесінің екіден астам мүмкін нәтижеге жалпылауы
Generalization of the Bernoulli process to more than two possible outcomes
Математикада Бернулли схемасы немесе Бернулли ығылымы – Бернулли процесінің екіден астам мүмкін нәтижеге жалпылауы болып табылады. Бернулли схемалары символдық динамикада табиғи түрде кездеседі, сондықтан динамикалық жүйелерді зерттеуде маңызды рөл атқарады. Көптеген маңызды динамикалық жүйелер (мысалы, Аксиома А жүйелері) Кантор жиыны мен тегіс көпқырлының көбейтіндісі болып табылатын репеллорды көрсетеді, ал Кантор жиынындағы динамика Бернулли ығылымына изоморфты болады. Бұл, негізінен, Марковтың бөлінісі болып табылады. "Ығылым" термині ығылу операторына сілтеме жасайды, оны Бернулли схемаларын зерттеу үшін пайдалануға болады. Орнштейннің изоморфизм теоремасы, олардың энтропиясы тең болғанда Бернулли ығылымдарының изоморфты екенін көрсетеді.
In mathematics, the Bernoulli scheme or Bernoulli shift is a generalization of the Bernoulli process to more than two possible outcomes. Bernoulli schemes appear naturally in symbolic dynamics, and are thus important in the study of dynamical systems. Many important dynamical systems (such as Axiom A systems) exhibit a repellor that is the product of the Cantor set and a smooth manifold, and the dynamics on the Cantor set are isomorphic to that of the Bernoulli shift. This is essentially the Markov partition. The term shift is in reference to the shift operator, which may be used to study Bernoulli schemes. The Ornstein isomorphism theorem shows that Bernoulli shifts are isomorphic when their entropy is equal.
Қасиеттері
Я. Синай көрсетті, Бернулли схемасының Колмогоров энтропиясы келесідей беріледі:
Ya. Sinai demonstrated that the Kolmogorov entropy of a Bernoulli scheme is given by
Бұл, ықтималдық кеңістіктерінің декарттық көбейтілімінің энтропиясының жалпы анықтамасынан туындайды, бұл асимптотикалық тепе-теңдік қасиетінен келіп шығады. Егер базалық кеңістік санаулы болмаса, салыстырмалы энтропия қарастырылады. Мысалы, егер Y базасының санаулы бөлінісі болса, онда энтропияны былай анықтауға болады:
This may be seen as resulting from the general definition of the entropy of a Cartesian product of probability spaces, which follows from the asymptotic equipartition property. For the case of a general base space (i. e. a base space which is not countable), one typically considers the relative entropy. So, for example, if one has a countable partition of the base Y, such that , one may define the entropy as
Жалпы, бұл энтропия бөлініске байланысты болады; алайда, көптеген динамикалық жүйелер үшін символдық динамика бөліністен тәуелсіз болады (немесе, керісінше, әртүрлі бөліністердің символдық динамикасын байланыстыратын изоморфизмдер бар, бұл өлшемді өзгеріссіз қалдырады), сондықтан мұндай жүйелер бөліністен тәуелсіз жақсы анықталған энтропияға ие болуы мүмкін.
In general, this entropy will depend on the partition; however, for many dynamical systems, it is the case that the symbolic dynamics is independent of the partition (or rather, there are isomorphisms connecting the symbolic dynamics of different partitions, leaving the measure invariant), and so such systems can have a well defined entropy independent of the partition.
Орнштейннің изоморфизм теоремасы
Орнштейннің изоморфизм теоремасы екі бірдей энтропиясы бар Бернулли схемаларының изоморфты екенін айтады. Ал осыған өте ұқсас, схемалық емес жүйелерде, мысалы, Колмогоров автоморфизмдерінде, мұндай қасиет болмайды. Орнштейннің изоморфизм теоремасы іс жүзінде әлдеқайда терең: ол көптеген түрлі өлшемді сақтайтын динамикалық жүйелердің Бернулли схемаларына изоморфты екенін анықтауға мүмкіндік беретін қарапайым критерий ұсынады. Бұл нәтиже таң қалдырды, себебі бұрын байланыссыз деп есептелген көптеген жүйелер изоморфты болып шықты. Олардың ішінде барлық шекті стационарлық стохастикалық процестер, шекті типтегі субсдвигтер, шекті Марков тізбектері, Аносов ағындары және Синайдың бильярды жатады: олардың бәрі Бернулли схемаларына изоморфты. Егер G тобы санауға болатын шексіз қоянды топ болса, Орнштейннің изоморфизм теоремасы жалпыланған жағдайда да қолданылады.
The Ornstein isomorphism theorem states that two Bernoulli schemes with the same entropy are isomorphic. in that very similar, non scheme systems, such as Kolmogorov automorphisms, do not have this property. The Ornstein isomorphism theorem is in fact considerably deeper: it provides a simple criterion by which many different measure preserving dynamical systems can be judged to be isomorphic to Bernoulli schemes. The result was surprising, as many systems previously believed to be unrelated proved to be isomorphic. These include all finite stationary stochastic processes, subshifts of finite type, finite Markov chains, Anosov flows, and Sinai's billiards: these are all isomorphic to Bernoulli schemes. For the generalized case, the Ornstein isomorphism theorem still holds if the group G is a countably infinite amenable group.
Бернулли автоморфизмі
Стандартты ықтималдық кеңістігінің (Лебесг кеңістігі) өлшемін сақтайтын және кері айналдырылатын түрлендіруі, егер ол Бернулли ауысымына изоморф болса, Бернулли автоморфизмі деп аталады.
An invertible, measure preserving transformation of a standard probability space (Lebesgue space) is called a Bernoulli automorphism if it is isomorphic to a Bernoulli shift.
Бернуллидің еркін нұсқасы
Жүйе, егер ол Бернулли ауысуымен Какутани эквиваленті болса, "еріктестірілген Бернулли" деп аталады; энтропиясы нөл болған жағдайда, егер ол шеңбердің иррационалды бұрылысына Какутани эквиваленті болса.
A system is termed "loosely Bernoulli" if it is Kakutani equivalent to a Bernoulli shift; in the case of zero entropy, if it is Kakutani equivalent to an irrational rotation of a circle.