Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Обобщение процесса Бернулли на случай более чем двух возможных исходов
Generalization of the Bernoulli process to more than two possible outcomes
В математике схема Бернулли или сдвиг Бернулли является обобщением процесса Бернулли на случай более чем двух возможных исходов. Схемы Бернулли возникают естественным образом в символической динамике и, следовательно, важны при изучении динамических систем. Многие важные динамические системы (такие как системы аксиомы А) демонстрируют отталкиватель, являющийся произведением множества Кантора и гладкого многообразия, при этом динамика на множестве Кантора изоморфна динамике сдвига Бернулли. Это, по сути, разбиение Маркова. Термин "сдвиг" относится к оператору сдвига, который можно использовать для изучения схем Бернулли. Теорема об изоморфизме Орнштейна показывает, что сдвиги Бернулли изоморфны, когда их энтропия одинакова.
In mathematics, the Bernoulli scheme or Bernoulli shift is a generalization of the Bernoulli process to more than two possible outcomes. Bernoulli schemes appear naturally in symbolic dynamics, and are thus important in the study of dynamical systems. Many important dynamical systems (such as Axiom A systems) exhibit a repellor that is the product of the Cantor set and a smooth manifold, and the dynamics on the Cantor set are isomorphic to that of the Bernoulli shift. This is essentially the Markov partition. The term shift is in reference to the shift operator, which may be used to study Bernoulli schemes. The Ornstein isomorphism theorem shows that Bernoulli shifts are isomorphic when their entropy is equal.
Свойства
Я. Синай показал, что энтропия Колмогорова схемы Бернулли задается формулой
Ya. Sinai demonstrated that the Kolmogorov entropy of a Bernoulli scheme is given by
Это можно рассматривать как следствие общего определения энтропии декартова произведения вероятностных пространств, которое вытекает из свойства асимптотического равнораспределения. Для общего базового пространства (то есть базового пространства, не являющегося счетным) обычно рассматривается относительная энтропия. Например, если задано счетное разбиение базового пространства Y, такое, что , то можно определить энтропию как
This may be seen as resulting from the general definition of the entropy of a Cartesian product of probability spaces, which follows from the asymptotic equipartition property. For the case of a general base space (i. e. a base space which is not countable), one typically considers the relative entropy. So, for example, if one has a countable partition of the base Y, such that , one may define the entropy as
В общем случае, эта энтропия будет зависеть от разбиения; однако для многих динамических систем символическая динамика не зависит от разбиения (или, точнее, существуют изоморфизмы, связывающие символическую динамику различных разбиений, сохраняющие меру), и поэтому такие системы могут иметь хорошо определенную энтропию, не зависящую от разбиения.
In general, this entropy will depend on the partition; however, for many dynamical systems, it is the case that the symbolic dynamics is independent of the partition (or rather, there are isomorphisms connecting the symbolic dynamics of different partitions, leaving the measure invariant), and so such systems can have a well defined entropy independent of the partition.
Теорема изоморфизма Орнштейна
Теорема об изоморфизме Орнштейна утверждает, что две схемы Бернулли с одинаковой энтропией изоморфны. Однако очень похожие, но не являющиеся схемами системы, такие как автоморфизмы Колмогорова, не обладают этим свойством. Теорема об изоморфизме Орнштейна на самом деле гораздо глубже: она предоставляет простой критерий, по которому можно судить об изоморфности многих различных динамических систем, сохраняющих меру, схемам Бернулли. Результат оказался неожиданным, поскольку многие системы, ранее считавшиеся несвязанными, оказались изоморфными. К ним относятся все конечные стационарные стохастические процессы, подсдвиги конечного типа, конечные цепи Маркова, потоки Аносова и бильярд Синая: все они изоморфны схемам Бернулли. Для обобщенного случая теорема об изоморфизме Орнштейна по-прежнему справедлива, если группа G является счетно бесконечной аменабельной группой.
The Ornstein isomorphism theorem states that two Bernoulli schemes with the same entropy are isomorphic. in that very similar, non scheme systems, such as Kolmogorov automorphisms, do not have this property. The Ornstein isomorphism theorem is in fact considerably deeper: it provides a simple criterion by which many different measure preserving dynamical systems can be judged to be isomorphic to Bernoulli schemes. The result was surprising, as many systems previously believed to be unrelated proved to be isomorphic. These include all finite stationary stochastic processes, subshifts of finite type, finite Markov chains, Anosov flows, and Sinai's billiards: these are all isomorphic to Bernoulli schemes. For the generalized case, the Ornstein isomorphism theorem still holds if the group G is a countably infinite amenable group.
Автоморфизм Бернулли
Обратимое преобразование, сохраняющее меру стандартного пространства вероятностей (пространства Лебега), называется автоморфизмом Бернулли, если оно изоморфно сдвигу Бернулли.
An invertible, measure preserving transformation of a standard probability space (Lebesgue space) is called a Bernoulli automorphism if it is isomorphic to a Bernoulli shift.
Неполноценный Бернулли
Система называется "слабобернуллиевой", если она Какутани эквивалентна сдвигу Бернулли; в случае нулевой энтропии, если она Какутани эквивалентна иррациональному повороту окружности.
A system is termed "loosely Bernoulli" if it is Kakutani equivalent to a Bernoulli shift; in the case of zero entropy, if it is Kakutani equivalent to an irrational rotation of a circle.