Кіріспе
Топ пен оның өкілдіктері арасындағы дуалдық. Математикада Таннака-Крейн дуалдық теориясы, компактты топологиялық топ пен оның сызықтық өкілдіктерінің категориясының өзара әрекеттесуімен айналысады. Бұл, компактты және дискретті коммутативті топологиялық топтар арасындағы Понтрагин дуалдығының, компактты, бірақ коммутативті емес топтарға табиғи кеңейтілуі болып табылады. Теория Тадао Таннака мен Марк Григорьевич Крейннің есімдерімен аталады. Лев Понтрагин қарастырған коммутативті топтардың жағдайынан өзгеше, коммутативті емес компактты топқа дуалдық ұғымы топ емес, бірақ G-нің шекті өлшемді өкілдіктерінен құралған, қосымша құрылыммен жабдықталған өкілдіктердің Π(G) категориясы болып табылады.
In mathematics, Tannaka–Krein duality theory concerns the interaction of a compact topological group and its category of linear representations. It is a natural extension of Pontryagin duality, between compact and discrete commutative topological groups, to groups that are compact but noncommutative. The theory is named after Tadao Tannaka and Mark Grigorievich Krein. In contrast to the case of commutative groups considered by Lev Pontryagin, the notion dual to a noncommutative compact group is not a group, but a category of representations Π(G) with some additional structure, formed by the finite dimensional representations of G.
Duality theorems of Tannaka and Krein describe the converse passage from the category Π(G) back to the group G, allowing one to recover the group from its category of representations. Moreover, they in effect completely characterize all categories that can arise from a group in this fashion. Alexander Grothendieck later showed that by a similar process, Tannaka duality can be extended to the case of algebraic groups via Tannakian formalism. Meanwhile, the original theory of Tannaka and Krein continued to be developed and refined by mathematical physicists. A generalization of Tannaka–Krein theory provides the natural framework for studying representations of quantum groups, and is currently being extended to quantum supergroups, quantum groupoids and their dual Hopf algebroids.
Таннака мен Крейннің дуалдық теоремалары, өкілдіктердің Π(G) категориясынан топқа кері өтуді сипаттайды, соның арқасында топты оның өкілдіктерінің категориясынан қалпына келтіруге болады. Сонымен қатар, олар осылайша топтан туындайтын барлық категорияларды толық сипаттайды. Александр Гротендик кейіннен ұқсас процесс арқылы Таннака дуалдығын, Таннакиан формализмін пайдалана отырып, алгебралық топтарға дейін кеңейтуге болатынын көрсетті. Осы аралықта, Таннака мен Крейннің бастапқы теориясы математикалық физиктер тарапынан одан әрі дамытылып, жетілдіріліп келеді. Таннака-Крейн теориясының жалпылауы, кванттық топтардың өкілдіктерін зерттеу үшін табиғи базаны қамтамасыз етеді және қазіргі уақытта кванттық супертоптарға, кванттық группоидтарға және олардың дуалды Хопф алгеброидтарына дейін кеңейтілуде.
In mathematics, Tannaka–Krein duality theory concerns the interaction of a compact topological group and its category of linear representations. It is a natural extension of Pontryagin duality, between compact and discrete commutative topological groups, to groups that are compact but noncommutative. The theory is named after Tadao Tannaka and Mark Grigorievich Krein. In contrast to the case of commutative groups considered by Lev Pontryagin, the notion dual to a noncommutative compact group is not a group, but a category of representations Π(G) with some additional structure, formed by the finite dimensional representations of G.
Duality theorems of Tannaka and Krein describe the converse passage from the category Π(G) back to the group G, allowing one to recover the group from its category of representations. Moreover, they in effect completely characterize all categories that can arise from a group in this fashion. Alexander Grothendieck later showed that by a similar process, Tannaka duality can be extended to the case of algebraic groups via Tannakian formalism. Meanwhile, the original theory of Tannaka and Krein continued to be developed and refined by mathematical physicists. A generalization of Tannaka–Krein theory provides the natural framework for studying representations of quantum groups, and is currently being extended to quantum supergroups, quantum groupoids and their dual Hopf algebroids.
Таннака-Крейн дуалдығының идеясы: топтың бейнелеу категориясы
Понтрагиннің локалды компактты коммутативті топтар үшін дуалдық теориясында G тобының дуалдық объектісі – оның бір өлшемді унитарлық бейнелеулерінен тұратын мінездемелер тобы болып табылады. Егер G тобы коммутативті емес болса, мінездемелер тобына ең тікелей аналог – G-нің икемделіп бөлшектік емес унитарлық бейнелеулерінің эквиваленттілік кластарының жиыны. Бірақ, G-нің икемделіп бөлшектік емес бейнелеулері әдетте топты немесе тіпті моноидты құрамайды, себебі икемделіп бөлшектік емес бейнелеулердің тензорлық көбейтіндісі міндетті түрде икемделіп бөлшектік емес болып шықпайды. Сондықтан, барлық шекті өлшемді бейнелеулердің жиынын қарастырып, оны моноидты категория ретінде қарастыру қажет, онда көбейту – бейнелеулердің стандартты тензорлық көбейтіндісі, ал дуалдық объекті – контрагредиенттік бейнелеу операциясы арқылы беріледі. Категорияның бейнелеуі – сәйкестік функторынан өзіне моноидты табиғи түрлендіру. Басқаша айтқанда, бұл – T кеңістігінің кез келген эндоморфизмімен байланыстырылған нөлдік емес функция, ол тензорлық көбейтінділермен және кез келген аралық операторлармен , үйлесімділік шарттарын қанағаттандырады. Категорияның барлық бейнелеулерінің жиыны көбейту және топологиямен жабдылуы мүмкін, онда жуысу нүктелік түрде анықталады, яғни, тізбек егер және тек қана барлық үшін жуысса, онда одан кейін жуысады. Осылайша, жиын компактты (топологиялық) топқа айналатынын көрсетуге болады.
Жалпылау
Таннака-Крейн дуалдық теориясына қызығушылық 1980 жылдары Дринфельд пен Джимбоның жұмысында кванттық топтарды ашумен қайта жанданды. Кванттық топты зерттеудің басты жолдарының бірі – оның шекті өлшемді бейнелеулері арқылы, олар симметриялық моноиділдік категорияларға ұқсас, бірақ жалпырақ типтегі, тоқылған моноиділдік категорияны құрайды. Осы жағдайда да Таннака-Крейн типіндегі жақсы дуалдық теория бар екені анықталды және ол кванттық топтар мен олардың бейнелеулерін зерттеу үшін табиғи ортаны қамтамасыз ету арқылы кванттық топтар теориясында маңызды рөл атқарады. Содан кейін рационалды конформалды өріс теориясында тоқылған моноиділдік категориялардың әртүрлі мысалдары табылды. Таннака-Крейн философиясы конформалды өріс теориясынан туындаған тоқылған моноиділдік категорияларды кванттық топтардан да алуға болатынын көрсетеді, және Каждан мен Лустиг бірнеше мақаласында оның дұрыс екенін дәлелдеді. Ал Решетихин мен Тураев белгілі бір кванттық топтардан туындаған тоқылған моноиділдік категорияларды түйіндердің жаңа инварианттарын құру үшін пайдаланды.