Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Двойственность между группой и её представлениями
Duality between a group and its representations
В математике теория двойственности Таннака — Крейна изучает взаимодействие компактной топологической группы и её категории линейных представлений. Это естественное расширение дуальности Понтрягина, применимой к компактным и дискретным коммутативным топологическим группам, на группы, которые компактны, но некоммутативны. Теория названа в честь Тадао Таннаки и Марка Григорьевича Крейна. В отличие от случая коммутативных групп, рассматриваемого Львом Понтрягиным, понятие, дуальное некомутативной компактной группе, — это не группа, а категория представлений Π(G) с некоторой дополнительной структурой, образованная конечными размерными представлениями G.
In mathematics, Tannaka–Krein duality theory concerns the interaction of a compact topological group and its category of linear representations. It is a natural extension of Pontryagin duality, between compact and discrete commutative topological groups, to groups that are compact but noncommutative. The theory is named after Tadao Tannaka and Mark Grigorievich Krein. In contrast to the case of commutative groups considered by Lev Pontryagin, the notion dual to a noncommutative compact group is not a group, but a category of representations Π(G) with some additional structure, formed by the finite dimensional representations of G.
Теоремы двойственности Таннаки и Крейна описывают обратный переход из категории Π(G) обратно в группу G, позволяя восстановить группу по её категории представлений. Более того, они полностью характеризуют все категории, которые могут быть получены из группы таким образом. Позже Александр Гротендик показал, что аналогичным образом дуальность Таннаки может быть расширена на случай алгебраических групп посредством таннакианского формализма. Тем временем оригинальная теория Таннаки и Крейна продолжала развиваться и совершенствоваться математическими физиками. Обобщение теории Таннака — Крейна предоставляет естественную основу для изучения представлений квантовых групп и в настоящее время распространяется на квантовые супергруппы, квантовые группоиды и их двойные алгеброиды Хопфа.
Duality theorems of Tannaka and Krein describe the converse passage from the category Π(G) back to the group G, allowing one to recover the group from its category of representations. Moreover, they in effect completely characterize all categories that can arise from a group in this fashion. Alexander Grothendieck later showed that by a similar process, Tannaka duality can be extended to the case of algebraic groups via Tannakian formalism. Meanwhile, the original theory of Tannaka and Krein continued to be developed and refined by mathematical physicists. A generalization of Tannaka–Krein theory provides the natural framework for studying representations of quantum groups, and is currently being extended to quantum supergroups, quantum groupoids and their dual Hopf algebroids.
Идея дуальности Таннака-Крейн: категория представлений группы
В теории дуальности Понтрягина для локально компактных коммутативных групп, дуальным объектом группы G является её группа характеров, состоящая из её одномерных унитарных представлений. Если допустить, что группа G некоммутативна, то наиболее прямым аналогом группы характеров является множество классов эквивалентности неприводимых унитарных представлений G. Аналогом произведения характеров является тензорное произведение представлений. Однако, неприводимые представления G в общем случае не образуют группу или даже моноид, поскольку тензорное произведение неприводимых представлений не обязательно является неприводимым. Оказывается, необходимо рассматривать множество всех конечномерных представлений и рассматривать его как моноидальную категорию, где произведением является обычное тензорное произведение представлений, а двойственный объект задаётся операцией сопряжённого представления. Представление категории – это моноидальное естественное преобразование от тождественного функтора к самому себе. Иными словами, это ненулевая функция, которая сопоставляет каждому объекту эндоморфизм пространства T и удовлетворяет условиям совместимости с тензорными произведениями и с произвольными операторами перестановки, а именно: множество всех представлений категории можно снабдить умножением и топологией, в которой сходимость определяется поточечно, то есть последовательность сходится к некоторому представлению, если и только если она сходится к этому представлению для всех . Можно показать, что множество таким образом становится компактной (топологической) группой.
In Pontryagin duality theory for locally compact commutative groups, the dual object to a group G is its character group which consists of its one dimensional unitary representations. If we allow the group G to be noncommutative, the most direct analogue of the character group is the set of equivalence classes of irreducible unitary representations of G. The analogue of the product of characters is the tensor product of representations. However, irreducible representations of G in general fail to form a group, or even a monoid, because a tensor product of irreducible representations is not necessarily irreducible. It turns out that one needs to consider the set of all finite dimensional representations, and treat it as a monoidal category, where the product is the usual tensor product of representations, and the dual object is given by the operation of the contragredient representation. A representation of the category is a monoidal natural transformation from the identity functor to itself. In other words, it is a non zero function that associates with any an endomorphism of the space of T and satisfies the conditions of compatibility with tensor products, , and with arbitrary intertwining operators , namely, The collection of all representations of the category can be endowed with multiplication and topology, in which convergence is defined pointwise, i. e., a sequence converges to some if and only if converges to for all It can be shown that the set thus becomes a compact (topological) group.
Обобщение
Интерес к теории дуальности Таннака — Крайна возродился в 1980-х годах с открытием квантовых групп в работах Дринфельда и Джимбо. Один из основных подходов к изучению квантовой группы заключается в рассмотрении её конечномерных представлений, которые образуют категорию, подобную симметричным моноидальным категориям Π(G), но более общего типа — плетеной моноидальной категории. Оказалось, что в этом случае также существует эффективная теория дуальности типа Таннака — Крайна, которая играет важную роль в теории квантовых групп, предоставляя естественную среду для изучения как самих квантовых групп, так и их представлений. Вскоре после этого различные примеры плетеной моноидальной категории были обнаружены в рациональной конформной теории поля. Философия Таннака — Крайна предполагает, что плетеная моноидальная категория, возникающая из конформной теории поля, также может быть получена из квантовых групп, и в серии статей Каждан и Лустиг доказали, что это действительно так. С другой стороны, Решетихин и Тураев использовали плетеной моноидальные категории, возникающие из определенных квантовых групп, для построения новых инвариантов узлов.
Interest in Tannaka–Krein duality theory was reawakened in the 1980s with the discovery of quantum groups in the work of Drinfeld and Jimbo. One of the main approaches to the study of a quantum group proceeds through its finite dimensional representations, which form a category akin to the symmetric monoidal categories Π(G), but of more general type, braided monoidal category. It turned out that a good duality theory of Tannaka–Krein type also exists in this case and plays an important role in the theory of quantum groups by providing a natural setting in which both the quantum groups and their representations can be studied. Shortly afterwards different examples of braided monoidal categories were found in rational conformal field theory. Tannaka–Krein philosophy suggests that braided monoidal categories arising from conformal field theory can also be obtained from quantum groups, and in a series of papers, Kazhdan and Lusztig proved that it was indeed so. On the other hand, braided monoidal categories arising from certain quantum groups were applied by Reshetikhin and Turaev to construction of new invariants of knots.