Кіріспе
Жалпы салыстырмалылық теориясындағы негізгі нәтиже Оң энергия теоремасы (сондай-ақ оң масса теоремасы деп аталады) – жалпы салыстырмалылық теориясы мен дифференциалдық геометриядағы маңызды нәтижелер жиынтығы. Оның стандартты түрі, жалпы алғанда, оқшауланған жүйенің гравитациялық энергиясы теріс емес екенін, ал жүйеде гравитациялық объектілер болмаған жағдайда ғана нөлге тең болуы мүмкін екенін көрсетеді. Бұл тұжырымдар көбінесе физикалық сипаттамалар ретінде қарастырылса да, дифференциалдық геометрия, ішінара дифференциалдық теңдеулер және геометриялық өлшемдер теориясының әдістерін қолдана отырып, математикалық теоремалар ретінде дәлелдеуге болады. Ричард Шоен мен Шинг Тунг Яу 1979 және 1981 жылдары оң масса теоремасын алғаш рет дәлелдеді. Эдвард Виттен 1982 жылы балама дәлелдің негізгі қағидаларын ұсынды, оны математиктер кейіннен толықтырып, қатаң түсіндірді. Виттен мен Яу осы тақырыптағы еңбектері үшін математика саласындағы Филдс медалімен марапатталды. Шоен-Яу / Виттеннің оң энергия теоремасының шамамен айқындалған түрі мынадай:
The positive energy theorem (also known as the positive mass theorem) refers to a collection of foundational results in general relativity and differential geometry. Its standard form, broadly speaking, asserts that the gravitational energy of an isolated system is nonnegative, and can only be zero when the system has no gravitating objects. Although these statements are often thought of as being primarily physical in nature, they can be formalized as mathematical theorems which can be proven using techniques of differential geometry, partial differential equations, and geometric measure theory. Richard Schoen and Shing Tung Yau, in 1979 and 1981, were the first to give proofs of the positive mass theorem. Edward Witten, in 1982, gave the outlines of an alternative proof, which were later filled in rigorously by mathematicians. Witten and Yau were awarded the Fields medal in mathematics in part for their work on this topic. An imprecise formulation of the Schoen Yau / Witten positive energy theorem states the following:
The meaning of these terms is discussed below. There are alternative and non equivalent formulations for different notions of energy momentum and for different classes of initial data sets. Not all of these formulations have been rigorously proven, and it is currently an open problem whether the above formulation holds for initial data sets of arbitrary dimension.
Бұл терминдердің мағынасы төменде талқыланады. Энергия-импульстің әртүрлі түсініктері мен бастапқы деректер жиынтығының әртүрлі кластары үшін балама және тең емес тұжырымдамалар бар. Бұл тұжырымдамалардың бәрі қатаң түрде дәлелденбеді, және аталған тұжырым кездейсоқ өлшемдегі бастапқы деректер жиынтықтары үшін де жарамды болатыны әзірге ашық мәселе болып қалуда.
The positive energy theorem (also known as the positive mass theorem) refers to a collection of foundational results in general relativity and differential geometry. Its standard form, broadly speaking, asserts that the gravitational energy of an isolated system is nonnegative, and can only be zero when the system has no gravitating objects. Although these statements are often thought of as being primarily physical in nature, they can be formalized as mathematical theorems which can be proven using techniques of differential geometry, partial differential equations, and geometric measure theory. Richard Schoen and Shing Tung Yau, in 1979 and 1981, were the first to give proofs of the positive mass theorem. Edward Witten, in 1982, gave the outlines of an alternative proof, which were later filled in rigorously by mathematicians. Witten and Yau were awarded the Fields medal in mathematics in part for their work on this topic. An imprecise formulation of the Schoen Yau / Witten positive energy theorem states the following:
The meaning of these terms is discussed below. There are alternative and non equivalent formulations for different notions of energy momentum and for different classes of initial data sets. Not all of these formulations have been rigorously proven, and it is currently an open problem whether the above formulation holds for initial data sets of arbitrary dimension.
Тарихи шолу
АДМ массасы теоремасының бастапқы дәлелін 1979 жылы Ричард Шоен және Шинг Тунг Яу вариациялық әдістер мен минималды беттерді қолдана отырып берді. Эдвард Виттен 1981 жылы супергравитация аясындағы оң энергия теоремаларынан шабыттанған спинорларды пайдалану арқылы тағы бір дәлел ұсынды. Бонди массасы теоремасын Людвигсен мен Джеймс Викерс, Гэри Хоровиц пен Малкольм Перри, сондай-ақ Шоен мен Яу кеңейтті. Гари Гиббонс, Стивен Хокинг, Хоровиц және Перри теореманы асимптотикалық анти-де-Ситтер кеңістігі-уақыты мен Эйнштейн-Максвелл теориясына қатысты кеңейтті. Асимптотикалық анти-де-Ситтер кеңістігі-уақытының массасы теріс емес және тек анти-де-Ситтер кеңістігі-уақыты үшін ғана нөлге тең. Эйнштейн-Максвелл теориясында, егер кеңістік-уақытта электр заряды және магниттік заряды болса, онда кеңістік-уақыттың массасы (Гаусс бірліктерінде) Маджумдар-Папапетроу экстремалды қара тесік шешімдері үшін теңдікке ие болады.
with equality for the Majumdar–Papapetrou extremal black hole solutions.
Асимптотикалық жазық бастапқы деректер жиынтығының ұштары
Әдебиетте "асимптотикалық жазықтық" деген бірнеше түрлі ұғым бар, олар бір-бірімен сәйкес келмейді. Көбінесе бұл салмақталған Хёльдер кеңістіктері немесе салмақталған Соболев кеңістіктері арқылы анықталады. Дегенмен, барлық тәсілдерге тән ортақ белгілер бар. Бір бастапқы деректер жиынтығын (M, g, k) қарастырады, оның шекарасы болуы немесе болмауы мүмкін; n оның өлшемділігін белгілейді. М жиынында К компактты жиынтығы бар екені талап етіледі, сонда М - К айырмасының әрбір байланысқан компоненті Евклид кеңістігіндегі жабық шардың айырмасына диффеоморфты болады (ℝⁿ). Мұндай байланысқан компоненттер М-нің соңғы нүктелері деп аталады.
Шон және Яу (1979)
(M, g, 0) басым энергия шартын қанағаттандыратын уақыт симметриялы бастапқы деректер жиынтығы болсын. (M, g) – шекарасы бар үш өлшемді тегіс Риманн көптігі, және әрбір шекара компонентінің оң орташа қисықтығы бар деп есептейік. Оның бір ұшы бар және ол келесі мағынада асимптотикалық Шварцшильд:
Шон мен Яу теоремасы m теріс емес болуы керек деп мәлімдейді. Егер, сонымен қатар, функциялар және кез келген үшін шектелген болса, онда m оң болуы керек, егер M шекарасы бос болмаса және (M, g) стандартты Риман метрикасымен R^(3) -ге изометриялық болмаса. h-дегі шарттар h-нің кейбір туындыларымен бірге x үлкен болғанда кіші екенін көрсетеді. h, Φ координаттарындағы g мен Шварцшильд метрикасының кесіндісінің стандартты бейнелеуі арасындағы айырманы өлшегендіктен, бұл шарттар "асимптотикалық Шварцшильд" терминінің сандық сипаттамасы болып табылады. Бұл математикалық тұрғыдан "асимптотикалық жазықтықтың" күшті түрі ретінде қарастырылуы мүмкін, онда метриканың кеңеюінің бөлігінің коэффициенті жалпы симметриялық 2-тензорға қарағанда Евклид метрикасының тұрақты еселігі деп жарияланады. Сондай-ақ, жоғарыда айтылған Шон мен Яу теоремасы, көрініске қарамастан, "көптеген ұштардың" күшті түрі екенін ескеру керек. Егер (M, g) бірнеше ұшы бар толық Риманн көптігі болса, онда жоғарыдағы нәтиже кез келген жекелеген ұшқа қолданылады, егер әрбір басқа ұшында оң орташа қисықтыққа ие сфера болса. Бұл, мысалы, егер әрбір ұш жоғарыда аталған мағынада асимптотикалық жазық болса, кепілдендіріледі; шекара ретінде үлкен координаттық сфераны таңдап, әрбір ұштың тиісті қалдықтарын алып тастауға болады, нәтижесінде бір ұшы бар шекарасы бар Риманн көптігі пайда болады.
Кеңейтулер мен ескертулер
Жоғарыда айтылғандарға сәйкес, Виттеннің қорытындысы Шён мен Яудың қорытындысынан күшті. Дегенмен, Шён мен Яудың үшінші мақаласы олардың 1981 жылғы нәтижесі Виттеннің нәтижесін білдіреді екенін көрсетеді, тек қосымша талапты сақтай отырып, яғни кез келген үшін және шектеулі екенін көрсетеді. Сондай-ақ, Шён мен Яудың 1981 жылғы нәтижесі олардың 1979 жылғы нәтижесіне сүйенетінін атап өту керек, ал ол нәтиже қайшылық арқылы дәлелденген; демек, олардың 1981 жылғы нәтижесін кеңейту де қайшылық арқылы жүзеге асырылған. Керісінше, Виттеннің дәлелі логикалық жағынан тікелей, АДМ энергиясын теріс емес шама ретінде тікелей көрсетеді. Бұдан әрі, Виттеннің дәлелі жағдайында, көп күш жұмсамай, жоғары өлшемді көпқырлыларға кеңейтілуі мүмкін, егер көпқырлы спиральдық құрылымға ие болса. Шён мен Яудың 1979 жылғы нәтижесі мен дәлелі сегізден төмен кез келген өлшемге қолданылуы мүмкін. Соңғы уақыттарда Виттеннің нәтижесі, Шён мен Яудың (1981) әдістерін пайдалана отырып, сол контекстке дейін кеңейтілді. Қорытындылай айтқанда: Шён мен Яудың әдістерін қолдану арқылы оң энергия теоремасы сегізден төмен өлшемде дәлелденді, ал Виттеннің әдістерімен ол кез келген өлшемде дәлелденді, бірақ спиральдық көпқырлыларға қатысты шектеулермен. 2017 жылдың сәуір айында Шён мен Яу өлшем немесе топология бойынша шектеусіз, жалпы жоғары өлшемді жағдайды дәлелдейтін препринт жариялады. Алайда, ол әлі күнге дейін (2020 жылдың мамыр айы) академиялық журналда жарияланбаған.
1979 result, which is proved by contradiction; therefore their extension of their 1981 result is also by contradiction. By contrast, Witten's proof is logically direct, exhibiting the ADM energy directly as a nonnegative quantity. Furthermore, Witten's proof in the case can be extended without much effort to higher dimensional manifolds, under the topological condition that the manifold admits a spin structure. Schoen and Yau's 1979 result and proof can be extended to the case of any dimension less than eight. More recently, Witten's result, using Schoen and Yau (1981)'s methods, has been extended to the same context. In summary: following Schoen and Yau's methods, the positive energy theorem has been proven in dimension less than eight, while following Witten, it has been proven in any dimension but with a restriction to the setting of spin manifolds. As of April 2017, Schoen and Yau have released a preprint which proves the general higher dimensional case in the special case without any restriction on dimension or topology. However, it has not yet (as of May 2020) appeared in an academic journal.
Қолданбалар
1984 жылы Шон Ямабе проблемасын толық шешуге қатысқан жұмысында оң масса теоремасын пайдаланды. Оң масса теоремасы Хьюберт Брейдің Римандық Пенроуз теңсіздігін дәлелдеуінде қолданылды.