Введение
Ключевой результат в общей теории относительности
Теорема о положительной энергии (также известная как теорема о положительной массе) относится к ряду фундаментальных результатов в общей теории относительности и дифференциальной геометрии. Её стандартная формулировка, в широком смысле, утверждает, что гравитационная энергия изолированной системы неотрицательна и может быть равна нулю только в случае, если система не содержит гравитирующих объектов. Хотя эти утверждения часто рассматриваются как преимущественно физические, они могут быть формализованы в виде математических теорем, доказываемых методами дифференциальной геометрии, уравнений в частных производных и геометрической теории меры. Ричард Шоэн и Шинг Тун Яу первыми представили доказательства теоремы о положительной массе в 1979 и 1981 годах. Эдвард Виттен в 1982 году представил набросок альтернативного доказательства, которое впоследствии было строго доработано математиками. Виттен и Яу были удостоены медали Филдса по математике, в том числе за их работу в этой области. Нестрогая формулировка теоремы о положительной энергии Шоэна — Яу / Виттена выглядит следующим образом:
Значение этих терминов обсуждается ниже. Существуют альтернативные и неэквивалентные формулировки для различных представлений об энергии-импульсе и для различных классов начальных данных. Не все эти формулировки были строго доказаны, и в настоящее время остаётся открытым вопрос о том, применима ли вышеуказанная формулировка к начальным данным произвольной размерности.
Исторический обзор
Оригинальное доказательство теоремы для массы АДМ было получено Ричардом Шоуном и Шингом Тунгом Яу в 1979 году с использованием вариационных методов и минимальных поверхностей. Эдвард Виттен в 1981 году предложил другое доказательство, основанное на использовании спиноров и вдохновленное теоремами положительной энергии в контексте супергравитации. Расширения теоремы для массы Бонди были даны Людвигсеном и Джеймсом Викерсом, Гари Хоровицем и Малкольмом Перри, а также Шоуном и Яу. Гэри Гиббонс, Стивен Хокинг, Хоровиц и Перри доказали расширения теоремы для асимптотически анти-де-ситтеровских пространств-времени и теории Эйнштейна-Максвелла. Масса асимптотически анти-де-ситтеровского пространства-времени неотрицательна и равна нулю только для пространства-времени анти-де-ситтера. В теории Эйнштейна-Максвелла, для пространства-времени с электрическим зарядом и магнитным зарядом , масса пространства-времени удовлетворяет (в гауссовых единицах) равенству для экстремальных решений черной дыры Маджумдар-Папапетру.
with equality for the Majumdar–Papapetrou extremal black hole solutions.
Конечные точки асимптотически плоских исходных наборов данных
В литературе существует несколько различных понятий "асимптотически плоского", которые не являются взаимно эквивалентными. Обычно это определяется в терминах взвешенных пространств Хёльдера или взвешенных пространств Соболева. Однако есть некоторые особенности, общие для практически всех подходов. Рассматривается начальный набор данных (M, g, k), который может иметь или не иметь границу; пусть n обозначает его размерность. Требуется, чтобы существовало компактное подмножество K в M, такое, что каждая связная компонента дополнения M − K диффеоморфна дополнению замкнутого шара в евклидовом пространстве ℝⁿ. Такие связные компоненты называются концами M.
Шон и Яу (1979)
Пусть (M, g, 0) — начальный набор данных с временной симметрией, удовлетворяющий условию доминирующей энергии. Предположим, что (M, g) — ориентированный трехмерный гладкий риманов многообраз с границей, и что каждая граничная компонента имеет положительную среднюю кривизну. Предположим, что у него есть один конец, и он асимптотически шварцшильдов в следующем смысле: теорема Шена и Яу утверждает, что m должно быть неотрицательным. Если, кроме того, функции и ограничены для любого , то m должно быть положительным, если только граница M не пуста и (M, g) изометрична ℝ³ со своей стандартной римановой метрикой. Обратите внимание, что условия на h утверждают, что h, вместе с некоторыми его производными, малы при больших x. Поскольку h измеряет отклонение между g в координатах Φ и стандартным представлением сечения метрики Шварцшильда, эти условия являются количественным выражением термина "асимптотически шварцшильдов". Это можно интерпретировать в чисто математическом смысле как сильную форму "асимптотически плоского" пространства, где коэффициент части разложения метрики объявляется постоянной кратной евклидовой метрике, в отличие от общего симметричного тензора второго ранга. Также обратите внимание, что теорема Шена и Яу, как сформулирована выше, на самом деле (несмотря на видимость) является сильной формой случая "множественных концов". Если (M, g) — полное риманово многообразие с несколькими концами, то вышеуказанный результат применим к любому отдельному концу, при условии, что в каждом другом конце существует сфера с положительной средней кривизной. Это гарантируется, например, если каждый конец асимптотически плоский в вышеуказанном смысле; можно выбрать большую координатную сферу в качестве границы и удалить соответствующий остаток каждого конца, пока не получится риманово многообразие с границей с одним концом.
Schoen and Yau's theorem asserts that m must be nonnegative. If, in addition, the functions and are bounded for any then m must be positive unless the boundary of M is empty and (M, g) is isometric to ℝ^(3) with its standard Riemannian metric. Note that the conditions on h are asserting that h, together with some of its derivatives, are small when x is large. Since h is measuring the defect between g in the coordinates Φ and the standard representation of the slice of the Schwarzschild metric, these conditions are a quantification of the term "asymptotically Schwarzschild". This can be interpreted in a purely mathematical sense as a strong form of "asymptotically flat", where the coefficient of the part of the expansion of the metric is declared to be a constant multiple of the Euclidean metric, as opposed to a general symmetric 2 tensor. Note also that Schoen and Yau's theorem, as stated above, is actually (despite appearances) a strong form of the "multiple ends" case. If (M, g) is a complete Riemannian manifold with multiple ends, then the above result applies to any single end, provided that there is a positive mean curvature sphere in every other end. This is guaranteed, for instance, if each end is asymptotically flat in the above sense; one can choose a large coordinate sphere as a boundary, and remove the corresponding remainder of each end until one has a Riemannian manifold with boundary with a single end.
Расширения и замечания
Согласно вышеизложенным утверждениям, заключение Виттена сильнее, чем заключения Шёна и Яу. Однако, третья работа Шёна и Яу показывает, что их результат 1981 года влечёт за собой результат Виттена, сохраняя лишь дополнительное предположение о том, что и ограничены для любого . Также следует отметить, что результат 1981 года Шёна и Яу опирается на их результат 1979 года, который доказан от противного; следовательно, их расширение результата 1981 года также доказано от противного. В отличие от этого, доказательство Виттена логически прямое, непосредственно демонстрирующее энергию АДМ как неотрицательную величину. Более того, доказательство Виттена в случае может быть без особых усилий расширено на многообразия более высоких размерностей при топологическом условии, что многообразие допускает спиновую структуру. Результат и доказательство Шёна и Яу 1979 года могут быть распространены на случай любой размерности меньше восьми. В последнее время результат Виттена, с использованием методов Шёна и Яу (1981), был расширен на тот же контекст. В итоге: следуя методам Шёна и Яу, теорема о положительной энергии была доказана в размерности меньше восьми, а следуя Виттену – в любой размерности, но с ограничением на спиновые многообразия. По состоянию на апрель 2017 года Шён и Яу опубликовали препринт, доказывающий общий случай для более высоких размерностей в частном случае без каких-либо ограничений по размерности или топологии. Однако, по состоянию на май 2020 года, он ещё не был опубликован в научном журнале.
1979 result, which is proved by contradiction; therefore their extension of their 1981 result is also by contradiction. By contrast, Witten's proof is logically direct, exhibiting the ADM energy directly as a nonnegative quantity. Furthermore, Witten's proof in the case can be extended without much effort to higher dimensional manifolds, under the topological condition that the manifold admits a spin structure. Schoen and Yau's 1979 result and proof can be extended to the case of any dimension less than eight. More recently, Witten's result, using Schoen and Yau (1981)'s methods, has been extended to the same context. In summary: following Schoen and Yau's methods, the positive energy theorem has been proven in dimension less than eight, while following Witten, it has been proven in any dimension but with a restriction to the setting of spin manifolds. As of April 2017, Schoen and Yau have released a preprint which proves the general higher dimensional case in the special case without any restriction on dimension or topology. However, it has not yet (as of May 2020) appeared in an academic journal.
Приложения
В 1984 году Шен использовал теорему о положительной массе в своей работе, завершившей решение проблемы Ямабе. Теорема о положительной массе была использована Хьюбертом Брэем в доказательстве неравенства Пенроуза для римановых многообразий.