Кіріспе
Фурье тізбектері ұғымының мерзімді емес функцияларға жалпылауы. Спектрдің жалғасуын талдау (SCA) – бұл Фурье тізбектері ұғымының мерзімді емес функцияларға жалпылауы, олардың тек бір бөлігі уақыт доменінде үлгіленген. Еске сала кетейік, Фурье тізбектері тек 2π периоды бар f(x) функцияларын талдауға жарамды. Оны синусоидалардың шексіз тізбегі ретінде көрсетуге болады:
Spectrum continuation analysis (SCA) is a generalization of the concept of Fourier series to non periodic functions of which only a fragment has been sampled in the time domain. Recall that a Fourier series is only suitable to the analysis of periodic (or finite domain) functions f(x) with period 2π. It can be expressed as an infinite series of sinusoids:
where is the amplitude of the individual harmonics. In SCA however, one decomposes the spectrum into optimized discrete frequencies. As a consequence, and as the period of the sampled function is supposed to be infinite or not yet known, each of the discrete periodic functions that compose the sampled function fragment can not be considered to be a multiple of the fundamental frequency:
As such, SCA does not necessarily deliver periodic functions, as would have been the case in Fourier analysis. For real valued functions, the SCA series can be written as:
where An and Bn are the series amplitudes. The amplitudes can only be solved if the series of values is previously optimized for a desired objective function (usually least residuals). is not necessarily the average value over the sampled interval: one might prefer to include predominant information on the behavior of the offset value in the time domain.
мұндағы – жеке гармоникалардың амплитудасы. Алайда, SCA-да спектр оңтайландырылған дискретті жиіліктерге жіктеледі. Салдарынан, және үлгіленген функцияның периоды шексіз немесе әлі белгісіз болғандықтан, үлгіленген функция фрагментін құрайтын дискретті периодты функциялардың әрқайсысы негізгі жиіліктің есесі деп қарастырылмайды:
Spectrum continuation analysis (SCA) is a generalization of the concept of Fourier series to non periodic functions of which only a fragment has been sampled in the time domain. Recall that a Fourier series is only suitable to the analysis of periodic (or finite domain) functions f(x) with period 2π. It can be expressed as an infinite series of sinusoids:
where is the amplitude of the individual harmonics. In SCA however, one decomposes the spectrum into optimized discrete frequencies. As a consequence, and as the period of the sampled function is supposed to be infinite or not yet known, each of the discrete periodic functions that compose the sampled function fragment can not be considered to be a multiple of the fundamental frequency:
As such, SCA does not necessarily deliver periodic functions, as would have been the case in Fourier analysis. For real valued functions, the SCA series can be written as:
where An and Bn are the series amplitudes. The amplitudes can only be solved if the series of values is previously optimized for a desired objective function (usually least residuals). is not necessarily the average value over the sampled interval: one might prefer to include predominant information on the behavior of the offset value in the time domain.
Осылайша, SCA міндетті түрде Фурье талдауындағыдай периодты функцияларды бермейді. Нақты мәнді функциялар үшін SCA тізбегі былай жазылуы мүмкін:
Spectrum continuation analysis (SCA) is a generalization of the concept of Fourier series to non periodic functions of which only a fragment has been sampled in the time domain. Recall that a Fourier series is only suitable to the analysis of periodic (or finite domain) functions f(x) with period 2π. It can be expressed as an infinite series of sinusoids:
where is the amplitude of the individual harmonics. In SCA however, one decomposes the spectrum into optimized discrete frequencies. As a consequence, and as the period of the sampled function is supposed to be infinite or not yet known, each of the discrete periodic functions that compose the sampled function fragment can not be considered to be a multiple of the fundamental frequency:
As such, SCA does not necessarily deliver periodic functions, as would have been the case in Fourier analysis. For real valued functions, the SCA series can be written as:
where An and Bn are the series amplitudes. The amplitudes can only be solved if the series of values is previously optimized for a desired objective function (usually least residuals). is not necessarily the average value over the sampled interval: one might prefer to include predominant information on the behavior of the offset value in the time domain.
мұнда An және Bn – тізбектің амплитудалары. Амплитудаларды тек егер мәндер тізбегі бұрын қажетті мақсатты функция үшін оңтайландырылса ғана (әдетте ең аз қалдықтар) шешуге болады. Бұл міндетті түрде үлгіленген интервалдағы орташа мән емес: уақыт доменіндегі ығысу мәнінің мінез-құлқы туралы басым ақпаратты қосу артық көрінуі мүмкін.
Spectrum continuation analysis (SCA) is a generalization of the concept of Fourier series to non periodic functions of which only a fragment has been sampled in the time domain. Recall that a Fourier series is only suitable to the analysis of periodic (or finite domain) functions f(x) with period 2π. It can be expressed as an infinite series of sinusoids:
where is the amplitude of the individual harmonics. In SCA however, one decomposes the spectrum into optimized discrete frequencies. As a consequence, and as the period of the sampled function is supposed to be infinite or not yet known, each of the discrete periodic functions that compose the sampled function fragment can not be considered to be a multiple of the fundamental frequency:
As such, SCA does not necessarily deliver periodic functions, as would have been the case in Fourier analysis. For real valued functions, the SCA series can be written as:
where An and Bn are the series amplitudes. The amplitudes can only be solved if the series of values is previously optimized for a desired objective function (usually least residuals). is not necessarily the average value over the sampled interval: one might prefer to include predominant information on the behavior of the offset value in the time domain.
Этимология
SCA үлгіленген (әдетте стохастикалық) уақыт сериясы фрагментінен жиілік спектрін одан әрі болжау мәселесімен айналысады. Қарапайым Фурье талдауы бақыланған функцияның кезеңін немесе уақыт доменін шексіз қайталайтын болса, SCA бақыланған спектрден нақты құраушы жиіліктерді сүзіп алып, оларды уақыт доменінде жалғастыра (немесе алдын-ала жүргізе) береді. Сондықтан ғылыми терминологияда экстраполяция сияқты нәрсеге қарағанда жалғастыру терминіне басымдық беріледі.
Алгоритм
Бірнеше мәселені шешу үшін алгоритм қажет: трендті жою, ыдырау, жиілік ажыратымдылығын оңтайландыру, суперпозиция, трансформация және есептеу тиімділігі. Трендті жою немесе трендті бағалау. Ыдырау. Дискретті Фурье түрлендіруі Фурье талдауымен тығыз байланысты болғандықтан, осы спектрлік талдау түрі СКА-да спектрді ыдыратуға қағида бойынша жарамсыз. Дегенмен, DFT (немесе FFT) бастапқы жуықтама бере алады, бұл көбінесе ыдырау процесін жеделдетеді. Жиілік ажыратымдылығын жақсарту. Дискретті жиілікті ыдыратқаннан кейін, оны оңтайлы ажыратымдылыққа қол жеткізу үшін сүзгілеу қажет (яғни үш параметрді өзгертуге болады: жиілік мәні, амплитуда және фаза). Трансформация.
Спектрдің таралуы
ДФТ (немесе ФФТ)-пен салыстырғанда, мұнда спектрдің толық ажыратылуымен сипатталатын, бірақ уақыттық ақпарат нашарлайды, ал SCA уақыттық ақпаратқа басымдық береді, бірақ спектрдің таралуы жоғарылайды. Осы қасиет SCA-ның аналитикалық күшінің қайда екенін көрсетеді. Мысалы, дискретті құрастыру жиілігінің ажыратылуы SCA-да DFT-ге қарағанда әлдеқайда жақсы.