Обобщение разложения Фурье для непериодических функций: Анализ продолжения спектра (SCA)
Spectrum continuation analysis
Анализ продолжения спектра (SCA): обобщение рядов Фурье для непериодических функций. Разложение спектра на дискретные частоты при частичной выборке данных.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Обобщение понятия ряда Фурье для непериодических функций
Generalization of the concept of Fourier series to non periodic functions
Спектральный анализ продолжения (SCA) является обобщением понятия ряда Фурье для непериодических функций, по которым были получены лишь отдельные фрагменты данных во временной области. Вспомним, что ряд Фурье применим только к анализу периодических (или функций, заданных на конечном интервале) функций f(x) с периодом 2π. Его можно представить в виде бесконечного ряда синусоид:
Spectrum continuation analysis (SCA) is a generalization of the concept of Fourier series to non periodic functions of which only a fragment has been sampled in the time domain. Recall that a Fourier series is only suitable to the analysis of periodic (or finite domain) functions f(x) with period 2π. It can be expressed as an infinite series of sinusoids:
где – амплитуда отдельных гармоник. Однако в SCA спектр раскладывается на оптимизированные дискретные частоты. Следовательно, поскольку период анализируемой функции предполагается бесконечным или пока неизвестным, каждая из дискретных периодических функций, составляющих фрагмент данных, не обязательно является кратной основной частоте:
where is the amplitude of the individual harmonics. In SCA however, one decomposes the spectrum into optimized discrete frequencies. As a consequence, and as the period of the sampled function is supposed to be infinite or not yet known, each of the discrete periodic functions that compose the sampled function fragment can not be considered to be a multiple of the fundamental frequency:
Таким образом, SCA не обязательно приводит к периодическим функциям, как это было бы в случае анализа Фурье. Для функций, принимающих действительные значения, ряд SCA можно записать как:
As such, SCA does not necessarily deliver periodic functions, as would have been the case in Fourier analysis. For real valued functions, the SCA series can be written as:
где An и Bn – амплитуды ряда. Амплитуды могут быть определены только в том случае, если ряд значений предварительно оптимизирован для заданной целевой функции (обычно – минимизация остатков). не обязательно является средним значением по интервалу выборки: может быть предпочтительнее учитывать основную информацию о поведении смещения во временной области.
where An and Bn are the series amplitudes. The amplitudes can only be solved if the series of values is previously optimized for a desired objective function (usually least residuals). is not necessarily the average value over the sampled interval: one might prefer to include predominant information on the behavior of the offset value in the time domain.
Этимология
SCA решает задачу прогнозирования продолжения частотного спектра за пределами фрагмента дискретизированного (обычно стохастического) временного ряда. В отличие от стандартного анализа Фурье, который бесконечно повторяет наблюдаемый период функции или временную область, SCA выделяет точные составляющие частоты из наблюдаемого спектра и позволяет им продолжаться (соответственно, предшествовать) во временной области. Поэтому в научной терминологии предпочтение отдается термину "продолжение", а не, например, "экстраполяция".
SCA deals with the prediction problem of continuing a frequency spectrum beyond a sampled (usually stochastic) time series fragment. Unlike ordinary Fourier analysis that infinitely repeats an observed function period or time domain, SCA filters the exact composing frequencies out of the observed spectrum and let them continue (resp. precede) in the time domain. In the scientific terminology, therefore preference is given to the term continuation rather than for instance extrapolation.
Алгоритм
Для решения нескольких задач требуется алгоритм: удаление тренда, декомпозиция, оптимизация частотного разрешения, суперпозиция, преобразование и вычислительная эффективность. Удаление тренда или оценка тренда. Декомпозиция. Поскольку дискретное преобразование Фурье неразрывно связано с анализом Фурье, данный тип спектрального анализа по определению не подходит для декомпозиции спектра в SCA. Однако DFT (или FFT) может предоставить начальное приближение, которое часто ускоряет процесс декомпозиции. Повышение частотного разрешения. После декомпозиции дискретной частоты необходимо выполнить ее фильтрацию для достижения оптимального разрешения (то есть, изменяя три параметра: значение частоты, амплитуду и фазу). Преобразование.
An algorithm is required to cope with several problems: detrending, decomposition, frequency resolution optimization, superposition, transformation and computational efficiency. Detrending or trend estimation. Decomposition. Since discrete Fourier transform is inherently related to Fourier analysis, this type of spectral analysis is by definition not suitable for spectrum decomposition in SCA. DFT (or FFT) may provide however an initial approximation, which often speeds up the decomposition. Improving frequency resolution. After decomposition of a discrete frequency, it should be filtered for optimal resolution (i. e. varying three parameters: frequency value, amplitude and phase). Transformation.
Рассеяние спектра
По сравнению с DFT (или FFT), который отличается идеальным спектральным разрешением, но низкой временной разрешающей способностью, SCA отдает предпочтение временной информации, но приводит к большей дисперсии спектра. Это свойство определяет область сильных сторон аналитического применения SCA. Например, дискретное частотное разрешение по определению значительно выше в SCA, чем в DFT.
Compared to DFT (or FFT), which is characterized by perfect spectral resolution, but poor temporal information, SCA favours temporal information, but yields higher spectrum dispersion. This property shows where the analytic strength of SCA is located. For instance, discrete composing frequency resolution is by definition far better in SCA than in DFT.