Кіріспе
Жобалау жазықтығының түрі
Математикада аударма жазықтығы – белгілі бір симметриялар тобын (төменде сипатталған) қабылдайтын жобалау жазықтығы. Хьюз жазықтығы мен Фигероа жазықтығымен қатар, аударма жазықтығы Десаргезиан емес жазықтықтардың ең көп зерттелгендерінің бірі болып табылады, ал Десаргезиан емес жазықтықтардың басым көпшілігі аударма жазықтығы болып табылады немесе аударма жазықтығынан екі реттеу және/немесе туынды алу арқылы алынуы мүмкін. Жобалау жазықтығында P нүктені, ал l түзуді білдірейік. P центрі және l осі бар орталық коллинеация – l түзуындағы әрбір нүктені және P арқылы өтетін әрбір түзуді бекітетін коллинеация. Егер P нүктесі l түзуында жатса, онда ол элация деп аталады, әйтпесе – гомология деп аталады. P центрі және l осі бар орталық коллинеациялар тобын құрайды. Проективті жазықтықтағы l түзуі, егер l осіне сәйкес барлық элациялар тобы жазықтықтың π, πl (аффиндік туындысы) –дан l түзуін алып тастау арқылы алынған нүктелеріне транзитивті әрекет етсе, аударма түзуі болып табылады. Аударма түзуі бар проективті жазықтық аударма жазықтығы деп аталады. Аударма түзуін алып тастау арқылы алынған аффиндік жазықтық аффиндік аударма жазықтығы деп аталады. Проективті жазықтықтармен жұмыс істеу көбінесе оңай болғанымен, осы контексте бірнеше авторлар аударма жазықтығы терминін аффиндік аударма жазықтығын білдіру үшін қолданады.
In mathematics, a translation plane is a projective plane which admits a certain group of symmetries (described below). Along with the Hughes planes and the Figueroa planes, translation planes are among the most well studied of the known non Desarguesian planes, and the vast majority of known non Desarguesian planes are either translation planes, or can be obtained from a translation plane via successive iterations of dualization and/or derivation. In a projective plane, let P represent a point, and l represent a line. A central collineation with center P and axis l is a collineation fixing every point on l and every line through P. It is called an elation if P is on l, otherwise it is called a homology. The central collineations with center P and axis l form a group. A line l in a projective plane Π is a translation line if the group of all elations with axis l acts transitively on the points of the affine plane obtained by removing l from the plane Π, Πl (the affine derivative of Π). A projective plane with a translation line is called a translation plane. The affine plane obtained by removing the translation line is called an affine translation plane. While it is often easier to work with projective planes, in this context several authors use the term translation plane to mean affine translation plane.
Координаттармен алгебралық құрылым
Кез келген проекциялық жазықтықты кем дегенде бір жазықтық үштік сақина координаталай алады. Трансляциялық жазықтықтар үшін квази өріспен координаталау әрқашан мүмкін. Дегенмен, кейбір квази өрістер қосымша алгебралық қасиеттерге ие, ал сәйкес жазықтық үштік сақиналар қосымша симметрияларды қабылдайтын трансляциялық жазықтықтарды координаталайды. Осы ерекше классдардың кейбіреулері: жақын өрістермен координаталанған жақын өрістер жазықтықтары. Жарым өрістермен координаталанған жарым өрістер жазықтықтары, жарым өрістер жазықтықтарының дуалы да трансляциялық жазықтық болады. Муфанг жазықтықтары баламалы бөлініс сақиналары арқылы координаталанады, Муфанг жазықтықтары – кем дегенде екі трансляциялық түзуі бар трансляциялық жазықтықтар. Кез келген шекті Муфанг жазықтығы Дезарг жазықтығы болып табылады және кез келген Дезарг жазықтығы Муфанг жазықтығы болып табылады, бірақ Дезарг емес шексіз Муфанг жазықтықтары бар (мысалы, Кейли жазықтығы). + (қосу) және ⋅ (көбейту) операциялары бар квази өріс берілгенде, трансляциялық жазықтықтың координаттарын жасау үшін жазықтық үштік сақинаны анықтауға болады. Алайда, квази өрістен тікелей аффиндік жазықтықты жасау әдеттегідірек, онда нүктелер квази өрістің элементтері болып табылатын жұптар ретінде анықталады, ал түзулер квази өрістің элементтері бойынша өзгеретін және өзгеріп отыратын түріндегі теңдеуді қанағаттандыратын нүктелер жиынтығынан тұрады, сондай-ақ квази өрістің элементтері бойынша өзгеретін түріндегі теңдеуді қанағаттандыратын нүктелер жиынтығынан тұрады.
Nearfield planes coordinatized by nearfields. Semifield planes coordinatized by semifields, semifield planes have the property that their dual is also a translation plane. Moufang planes coordinatized by alternative division rings, Moufang planes are exactly those translation planes that have at least two translation lines. Every finite Moufang plane is Desarguesian and every Desarguesian plane is a Moufang plane, but there are infinite Moufang planes that are not Desarguesian (such as the Cayley plane). Given a quasifield with operations + (addition) and (multiplication), one can define a planar ternary ring to create coordinates for a translation plane. However, it is more typical to create an affine plane directly from the quasifield by defining the points as pairs where and are elements of the quasifield, and the lines are the sets of points satisfying an equation of the form , as and vary over the elements of the quasifield, together with the sets of points satisfying an equation of the form , as varies over the elements of the quasifield.
Геометриялық конструкция (Брук/Бозе)
Трансляциялық жазықтықтар Брук-Боз құрылымы арқылы тақ өлшемді проективтік кеңістіктердің таралуларымен байланысты. PG(2n+1, K) таралуы, мұндағы n – бүтін сан, ал K – бөліну сақинасы, кеңістікті өзара қиылыспайтын n өлшемді ішкі кеңістіктерге бөлу болып табылады. Шектелген жағдайда, PG(2n+1, q) таралуы q^(n+1) + 1 n өлшемді ішкі кеңістіктер жиыны болып табылады, олардың екеуі де қиылыспайды. PG(2n+1, K) таралуы берілгенде, Брук-Боз құрылымы келесідей трансляциялық жазықтықты құрады: PG(2n+1, K) проективтік кеңістігін PG(2n+2, K) проективтік кеңістігінің гипержазықтығы ретінде енгізіңіз. A(S) инциденттік құрылымын анықтаңыз, онда "нүктелер" – PG(2n+2, K) проективтік кеңістігіндегі гипержазықтықта жатпайтын нүктелер, ал "түзулер" – PG(2n+2, K) проективтік кеңістігіндегі S таралуының бір элементімен қиылысатын (n+1) өлшемді ішкі кеңістіктер болып табылады. Онда A(S) – аффиндік трансляциялық жазықтық. Шектелген жағдайда, бұл процедура q^(n+1) реттік трансляциялық жазықтықты құрады. Бұл мәлімдемеге кері теорема көбінесе дұрыс. K ядросы бойынша шекті өлшемді квазисаламен координатталған кез келген трансляциялық жазықтықты Брук-Боз құрылымын қолдана отырып, PG(2n+1, K) таралуынан жасауға болады, мұндағы (n+1) квазисаланың өлшемі, оның ядросы үстіндегі модуль ретінде қарастырылады. Бұл нәтижеден тікелей шығатын қорытынды – әрбір шекті трансляциялық жазықтықты осы құрылымнан алуға болады.
(n+1) is the dimension of the quasifield, considered as a module over its kernel. An instant corollary of this result is that every finite translation plane can be obtained from this construction.
Алгебралық құрылымды таралумен (Андре)
Андре (аффиндік) аударма жазықтығының бұрынғы алгебралық бейнелеуін берді, ол Брук/Бозбен негізінен бірдей. V – F өрісі үстіндегі 2n өлшемді векторлық кеңістік болсын. V-дің таралуы – V-дің нөлдік емес векторларын бөлетін V-дің n өлшемді ішкі кеңістіктерінің жиынтығы S. S мүшелері таралу компоненттері деп аталады, және егер Vi және Vj – әртүрлі компоненттер болса, онда Vi ⊕ Vj = V. A – нүктелері V-дің векторлары және сызықтары компоненттердің косеттері болып табылатын инциденттік құрылым, яғни v + U формасындағы жиынтықтар, мұнда v – V векторы және U – таралу S-тің құрауышы. Онда: A – аффиндік жазықтық және V-дегі w үшін x → x + w аудармалары тобы – осы жазықтықтың нүктелерінде реттелі әрекет ететін автоморфизм тобы.
A is an affine plane and the group of translations x → x + w for w in V is an automorphism group acting regularly on the points of this plane.