Введение

Тип проективной плоскости
В математике, трансляционная плоскость — это проективная плоскость, допускающая определенную группу симметрий (описанных ниже). Наряду с плоскостями Хьюза и плоскостями Фигероа, трансляционные плоскости являются одними из наиболее изученных известных недесаргезианских плоскостей, и подавляющее большинство известных недесаргезианских плоскостей либо являются трансляционными плоскостями, либо могут быть получены из трансляционной плоскости посредством последовательных итераций дуализации и/или производных. В проективной плоскости пусть P обозначает точку, а l — прямую. Центральная коллинеация с центром P и осью l — это коллинеация, фиксирующая каждую точку на l и каждую прямую, проходящую через P. Она называется элацией, если P лежит на l, иначе — гомологией. Центральные коллинеации с центром P и осью l образуют группу. Прямая l в проективной плоскости Π является трансляционной прямой, если группа всех элаций с осью l действует транзитивно на точки аффинной плоскости, полученной удалением l из плоскости Π, Πl (аффинная производная Π). Проективная плоскость, содержащая трансляционную прямую, называется трансляционной плоскостью. Аффинная плоскость, полученная удалением трансляционной прямой, называется аффинной трансляционной плоскостью. Хотя часто проще работать с проективными плоскостями, в данном контексте некоторые авторы используют термин «трансляционная плоскость» для обозначения аффинной трансляционной плоскости.

Алгебраическая конструкция с координатами

Каждая проективная плоскость может быть координирована как минимум одним плоским тройным кольцом. Для трансляционных плоскостей всегда возможно координировать с помощью квазиполя. Однако некоторые квазиполя удовлетворяют дополнительным алгебраическим свойствам, а соответствующие плоские тройные кольца координируют трансляционные плоскости, допускающие дополнительные симметрии. Некоторые из этих специальных классов:

Плоскости, координируемые близкополями (nearfield planes). Полуполевые плоскости, координируемые полуполями; полуполевые плоскости обладают свойством, что их дуальная плоскость также является трансляционной. Плоскости Муфанга, координируемые альтернативными полями деления; плоскости Муфанга – это ровно те трансляционные плоскости, которые имеют по крайней мере две трансляционные прямые. Каждая конечная плоскость Муфанга является дезаргезианской, и каждая дезаргезианская плоскость является плоскостью Муфанга, но существуют бесконечные плоскости Муфанга, которые не являются дезаргезианскими (например, плоскость Кэли). Для заданного квазиполя с операциями + (сложение) и · (умножение) можно определить плоское тройное кольцо для создания координат трансляционной плоскости. Однако чаще создают аффинную плоскость непосредственно из квазиполя, определяя точки как пары (x, y), где x и y – элементы квазиполя, а прямые – как множества точек, удовлетворяющих уравнению вида ax + by = c, где a, b и c пробегают элементы квазиполя, вместе с множествами точек, удовлетворяющих уравнению вида ax + b = y, где a и b пробегают элементы квазиполя.

Геометрическая конструкция с распрей (Bruck/Bose)

Плоскости перехода связаны с распространениями нечетномерных проективных пространств посредством конструкции Брук-Боза. Распространение PG(2n+1, K), где n – целое число, а K – кольцо делений, представляет собой разбиение пространства на попарно непересекающиеся n-мерные подпространства. В конечном случае, распространение PG(2n+1, q) – это множество q^(n+1) + 1 n-мерных подпространств, не имеющих общих точек. Для заданного распространения S PG(2n+1, K) конструкция Брук-Боза порождает плоскость перехода следующим образом: вложите PG(2n+1, K) как гиперплоскость в PG(2n+2, K). Определите инцидентную структуру A(S) с "точками", представляющими точки PG(2n+2, K), не лежащие на гиперплоскости, и "линиями", представляющими (n+1)-мерные подпространства PG(2n+2, K), пересекающие гиперплоскость в элементе из S. Тогда A(S) является аффинной плоскостью перехода. В конечном случае эта процедура порождает плоскость перехода порядка q^(n+1). Обратное утверждение почти всегда верно. Любая плоскость перехода, координируемая квазиполем, имеющим конечную размерность над своим ядром K (K обязательно является кольцом делений), может быть получена из распространения PG(2n+1, K) с помощью конструкции Брук-Боза, где (n+1) – размерность квазиполя, рассматриваемого как модуль над своим ядром. Непосредственным следствием этого результата является то, что каждая конечная плоскость перехода может быть получена из этой конструкции.

Алгебраическая конструкция с распределениями (Андре)

Андре дал более раннее алгебраическое представление (аффиновых) трансляционных плоскостей, которое в своей основе совпадает с представлением Брук/Бозе. Пусть V – векторное пространство размерности 2n над полем F. Распространением V называется множество S, состоящее из n-мерных подпространств V, которые разбивают пространство V на ненулевые векторы. Элементы S называются компонентами распространения, и если Vi и Vj – различные компоненты, то Vi ⊕ Vj = V. Пусть A – инцидентность-структура, точками которой являются векторы V, а линиями – косетами компонентов, то есть множества вида v + U, где v – вектор V, а U – компонент распространения S. Тогда: A является аффинной плоскостью, а группа трансляций x → x + w, где w принадлежит V, является группой автоморфизмов, действующей регулярно на точках этой плоскости.