Кіріспе
Көптаманың оң түбірлерінің саны мен оның коэффициенттерінің белгілері арасындағы байланыс. Математикада Декарттың белгілер ережесі, алғаш рет Рене Декарттың "La Géométrie" еңбегінде сипатталған, көптаманың оң нақты түбірлерінің саны туралы ақпарат алуға мүмкіндік беретін әдіс. Ол, оң түбірлердің саны көптаманың коэффициенттерінің тізбегіндегі белгі өзгерістерінің санынан аспайтынын (нөлдік коэффициенттерді ескермеу) және осы екі санның арасындағы айырманың әрқашан жұп сан болатынын көрсетеді. Атап айтқанда, егер белгі өзгерістерінің саны нөл немесе бір болса, онда тиісінше нөл немесе бір оң түбір бар. Анымалының сызықтық бөлшектік түрлендіруі арқылы Декарттың белгілер ережесін кез келген аралықтағы түбірлердің саны туралы ұқсас ақпарат алу үшін қолдануға болады. Бұл Будан теоремасы мен Будан-Фурье теоремасының негізгі идеясы болып табылады. Интервалды екіге бөлуді қайталап, ақырында көптаманың барлық нақты түбірлерін қамтитын және әрқайсысында дәл бір нақты түбір болатын, бірікпес интервалдар тізімін алуға болады. Декарттың белгілер ережесі және айнымалының сызықтық бөлшектік түрлендірулері қазіргі таңда көптамалардың нақты түбірлерін компьютерлік есептеудің ең жылдам алгоритмдерінің негізін құрайды (нақты түбірді оқшаулауға қараңыз). Декарт өзі x → −x түрлендіруін өзінің ережесін теріс түбірлердің саны туралы ақпарат алу үшін пайдаланған.
In mathematics, Descartes' rule of signs, first described by René Descartes in his work La Géométrie, is a technique for getting information on the number of positive real roots of a polynomial. It asserts that the number of positive roots is at most the number of sign changes in the sequence of polynomial's coefficients (omitting the zero coefficients), and that the difference between these two numbers is always even. This implies, in particular, that if the number of sign changes is zero or one, then there are exactly zero or one positive roots, respectively. By a linear fractional transformation of the variable, one may use Descartes' rule of signs for getting a similar information on the number of roots in any interval. This is the basic idea of Budan's theorem and Budan–Fourier theorem. By repeating the division of an interval into two intervals, one gets eventually a list of disjoint intervals containing together all real roots of the polynomial, and containing each exactly one real root. Descartes rule of signs and linear fractional transformations of the variable are, nowadays, the basis of the fastest algorithms for computer computation of real roots of polynomials (see real root isolation). Descartes himself used the transformation x → −x for using his rule for getting information of the number of negative roots.
Оң түбірлер
Ережеде, нақты коэффициенттері бар бір айнымалы полиномиалдың нөлден өзгеше мүшелері айнымалының азақтап келе жатқан дәрежесі бойынша реттелген жағдайда, полиномиалдың оң түбірлерінің саны, тізбектелген (нөлден өзгеше) коэффициенттер арасындағы белгі өзгерістерінің санына тең болады немесе одан жұп санға кем болады. К-қарқынды түбір k түбір ретінде саналады. Әсіресе, егер белгі өзгерістерінің саны нөл немесе бір болса, оң түбірлердің саны белгі өзгерістерінің санымен сәйкес келеді.
Нақты емес тамырлар
Кез келген n-ші дәрежелі полиномның комплекс жазықтықта дәл n түбірі болады, егер олардың көптігі ескерілсе. Егер f(x) полиномы нақты коэффициенттерге ие болса және 0-де түбірі болмаса (яғни, нөлдік емес тұрақты мүшесі бар полином болса), онда нақты емес түбірлердің ең аз саны тең
мұнда p – оң түбірлердің максималды саны, q – теріс түбірлердің максималды саны (екеуі де Декарттың белгілер ережесі арқылы анықталады), ал n – теңдеудің дәрежесі.
Ерекше жағдай
Оң түбірлердің ең көп санынан тек 2-ге еселіктерді ғана шығару себебі, көпмүшелік нақты емес түбірлерге ие болуы мүмкін, ал нақты коэффициенттері бар көпмүшеліктер үшін бұл ереже қолданылатындықтан, олар әрқашан жұптап келеді. Сондықтан, егер көпмүшеліктің барлық түбірлері нақты екені белгілі болса, бұл ереже оң және теріс түбірлердің нақты санын табуға мүмкіндік береді. 0-дің түбір ретіндегі көптігін анықтау оңай болғандықтан, осы жағдайда барлық түбірлердің таңбасын анықтауға болады.
Жалпылау
Егер нақты көпмүше P көптікпен есептелгенде k нақты оң түбірге ие болса, онда кез келген a > 0 үшін eaxP(x) функциясының Тейлор қатарының коэффициенттері тізбегінде кем дегенде k белгі өзгерісі болады. a жеткілікті түрде үлкен болғанда, мұндай белгі өзгерісінің саны дәл k-ға тең болады. 1970 жылдары Аскольд Хованский Декарт ережесін кеңейтетін финномиалдар теориясын жасады. Белгілер ережесін көпмүшенің нақты түбірлерінің саны көпмүшенің күрделілігіне байланысты екенін, ал бұл күрделілік оның дәрежесіне емес, мономиалдар санына пропорционалды екенін көрсетеді деп қарастыруға болады. Хованский бұл тек көпмүшелер үшін ғана емес, сонымен қатар көптеген трансценденттік функциялардың алгебралық комбинациялары үшін, яғни Пфаффиандық функциялар деп аталатын функциялар үшін де орындалатынын көрсетті.