Кіріспе

Нормасы 1-ге тең кватернион (бірлік кватернион)
нормасы 1-ге тең кватерниондар

Математикада версор – нормасы 1-ге тең кватернион (бірлік кватернион). Кез келген версор мына түрде жазылады:

мұндағы r² = −1 шарты r – бірлік ұзындығы бар векторлық кватернион (немесе r-дың бірінші компоненті нөлге тең, ал r-дың соңғы үш компоненті 3 өлшемде бірлік вектор) екенін білдіреді. Сәйкес 3 өлшемді айналуда r өсі бойынша 2a бұрышы бар. Егер (тік бұрыш) болса, онда , ал нәтижеде алынған бірлік вектор оң версор деп аталады. Кватернион көбейту арқылы версорлар жиыны топты құрайды, ал версорлар жиыны 4 өлшемді кватернион алгебрасындағы 3 сфера болып табылады.

Эллипстік кеңістік

Версондардың мүмкіндіктері эллипстік геометрияны, әсіресе эллипстік кеңістікті, үш өлшемді айналулар саласын көрсетеді. Версоры – бұл эллипстік кеңістіктің нүктелері, бірақ олар 4 өлшемді Евклид кеңістігіндегі айналымдарды көрсетеді. Екі белгілі версор u және v берілген жағдайда, бейнелеу эллипстік қозғалыс болып табылады. Егер белгілі версорлардың бірі 1 болса, онда қозғалыс эллипстік кеңістіктің Клиффорд аудармасы болып табылады, ол Уильям Кингдон Клиффордтың есімімен аталады, ол осы кеңістіктің қолдаушысы болған. u версоры арқылы өтетін эллипстік түзу – . Кеңістіктегі параллелизм Клиффорд параллельдерімен өрнектеледі. Эллипстік кеңістікті қарастырудың бір әдісі – версорларды бейнелеу үшін Кейли трансформациясын қолдану.

Жалғандық теориясы

Хамильтон кватернионды алғаш рет сипаттағанда Софус Лиге бір жасқа толмаған еді, бірақ Ли есімі экспоненциация арқылы жасалған барлық топтармен байланысты. Роберт Гилмор өз Lie теориясы туралы мәтінінде версорлар жиыны мен олардың көбейтуін Sl(1,q) деп белгіледі. Sl(1,q) – кватерниондардағы бір өлшемді арнайы сызықтық топ, мұндағы "арнайы" термині барлық элементтерінің нормасы бірге тең екенін көрсетеді. Бұл топ SU(2,c) – арнайы унитарлық топқа изоморфты, кватерниондар мен версорлар кейде топтар теориясы үшін көне деп есептелетіндіктен, бұл атау жиі қолданылады. Үш өлшемдегі айналулардың арнайы ортогональдық тобы SO(3,r) осыған тығыз байланысты: ол SU(2,c) тобының 2:1 гомоморфты бейнесі болып табылады. Бұл субкеңістік версорлар тобының Ли алгебрасы деп аталады. Коммутатор көбейтіндісі, екі вектордың векторлық көбейтіндісін екі еселенген күйінде білдіреді, Ли алгебрасындағы көбейтуді құрайды. SU(1,c) және SO(3,r) топтарымен тығыз байланыс олардың Ли алгебраларының изоморфизмінде көрінеді. Гиперболалық версорларды қамтитын Lie топтарына бірлік гиперболасындағы топ және SU(1,1) арнайы унитарлық тобы жатады.

Этимология

Бұл сөз латын тіліндегі versari = "айналу" деген сөзден және етістіктен зат есім жасауға арналған жұрнақтан (яғни versor = "айналдырушы") туындаған. Оны Уильям Роуэн Гамильтон 1840 жылдары кватерниондар теориясы аясында енгізген.

Геометриялық алгебрадағы версоры

"Версор" термині геометриялық алгебрада алгебраның мүшесін көрсету үшін жалпыландырылады, оны кері өшірілетін векторлардың көбейтіндісі ретінде беруге болады. Қалай кватернион версоры кватернионның айналуын бейнелесе, сәйкестік қабатын қамтамасыз ететіндей, геометриялық алгебрадағы версор да алгебраның мүшесіне қатысты шағылысулардың нәтижесін бейнелеуге қолданылады. Айналу екі шағылысудың нәтижесі ретінде қарастырылуы мүмкін, сондықтан кватернион версоры үш нақты өлшемді геометриялық алгебрада 2-версор ретінде қарастырылады. Гамильтонның анықтамасынан өзгешелік ретінде, көпвекторлық версорлар бірлік нормаға ие болуы міндетті емес, тек кері өшірілетін болуы керек. Дегенмен, нормалау әлі де пайдалы болуы мүмкін, сондықтан версорларды геометриялық алгебрада бірлік версорлар деп белгілеу ыңғайлы, егер , онда тильда версордың кері бұрылысын білдіреді.