Введение

Кватернион нормы 1 (единичный кватернион)
кватернионы нормы один

В математике версор — это кватернион нормы один (единичный кватернион). Каждый версор имеет вид

где условие r² = −1 означает, что r — кватернион-вектор единичной длины (или что первый компонент r равен нулю, а последние три компонента r образуют единичный вектор в трехмерном пространстве). Соответствующее трехмерное вращение имеет угол 2a вокруг оси r в представлении «ось-угол». В случае (прямого угла), тогда , и полученный единичный вектор называется ортогональным версором. Множество версоров с операцией кватернионного умножения образует группу, а совокупность версоров представляет собой 3-сферу в четырехмерной кватернионной алгебре.

Эллиптическое пространство

Удобство версоров иллюстрирует эллиптическую геометрию, в частности эллиптическое пространство – трехмерную область вращений. Версоры являются точками этого эллиптического пространства, хотя они соответствуют вращениям в четырехмерном евклидовом пространстве. Для двух фиксированных версоров u и v отображение представляет собой эллиптическое движение. Если один из фиксированных версоров равен 1, то движение является клиффордовским преобразованием эллиптического пространства, названным в честь Уильяма Кингдона Клиффорда, который был одним из сторонников этого пространства. Эллиптическая прямая, проходящая через версор u, определяется как… Параллельность в пространстве выражается клиффордовскими параллелями. Один из способов визуализации эллиптического пространства использует преобразование Кейли для отображения версоров в…

Теория лжи

Софусу Ли было меньше года, когда Гамильтон впервые описал кватернионы, но имя Ли стало ассоциироваться со всеми группами, порожденными возведением в степень. Множество версоров с их умножением было обозначено как Sl(1,q) Робертом Гилмором в его труде по теории Ли. Sl(1,q) – это специальная линейная группа размерности один над кватернионами, причем слово "специальная" указывает на то, что все элементы имеют норму, равную единице. Группа изоморфна SU(2,c), специальной унитарной группе, – часто используемому обозначению, поскольку кватернионы и версоры иногда считаются устаревшими для теории групп. Тесно связана и специальная ортогональная группа SO(3,r) вращений в трех измерениях: она является 2:1 гомоморфным образом SU(2,c). Подпространство называется алгеброй Ли группы версоров. Коммутаторное произведение, которое вдвое превышает векторное произведение двух векторов, определяет умножение в алгебре Ли. Тесная связь с SU(1,c) и SO(3,r) проявляется в изоморфизме их алгебр Ли. К группам Ли, содержащим гиперболические версоры, относятся группа на единичной гиперболе и специальная унитарная группа SU(1,1).

Этимология

Слово происходит от латинского versari = "вращать" с суффиксом, образующим существительное от глагола (т. е. versor = "тот, кто вращает"). Оно было введено Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1840-х годах в контексте его теории кватернионов.

Версоры в геометрической алгебре

Термин "версор" обобщается в геометрической алгебре для обозначения элемента алгебры, который может быть выражен как произведение обратимых векторов. Подобно тому, как кватернионный версор может использоваться для представления вращения кватерниона, отображающего , так и версор в геометрической алгебре может использоваться для представления результата отражений элемента алгебры, отображающего . Поскольку вращение можно рассматривать как результат двух отражений, кватернионный версор оказывается идентичным 2-версору в геометрической алгебре трех реальных измерений. В отличие от определения Гамильтона, мультивекторные версоры не обязаны иметь единичную норму, достаточно, чтобы они были обратимыми. Однако нормализация все еще может быть полезна, поэтому удобно называть версоры единичными версорами в геометрической алгебре, если , где тильда обозначает реверсию версора.