Введение
Теорема о продолжении ограниченных линейных функционалов
Теорема Хана — Банаха является центральным инструментом в функциональном анализе. Она позволяет продолжить ограниченные линейные функционалы, определенные на векторном подпространстве некоторого векторного пространства, на всё пространство, а также показывает, что существует "достаточно" непрерывных линейных функционалов, определенных на каждом нормированном векторном пространстве, чтобы изучение двойственного пространства было "интересным". Другая версия теоремы Хана — Банаха известна как теорема о разделении Хана — Банаха или теорема о разделении гиперплоскостями и имеет многочисленные применения в выпуклой геометрии.
The Hahn–Banach theorem is a central tool in functional analysis. It allows the extension of bounded linear functionals defined on a vector subspace of some vector space to the whole space, and it also shows that there are "enough" continuous linear functionals defined on every normed vector space to make the study of the dual space "interesting". Another version of the Hahn–Banach theorem is known as the Hahn–Banach separation theorem or the hyperplane separation theorem, and has numerous uses in convex geometry.
Нелокально выпуклые пространства
Теорема непрерывного продолжения может не выполняться, если топологическое векторное пространство (TVS) не является локально выпуклым. Например, пространство Лебега является полным метризуемым TVS (F-пространством), которое не является локально выпуклым (фактически, его единственными выпуклыми открытыми подмножествами являются само оно и пустое множество), и единственным непрерывным линейным функционалом на нем является постоянная функция. Поскольку оно является хаусдорфовым, каждое конечномерное векторное подпространство линейно гомеоморфно евклидову пространству или (по теореме Ф. Рисса), и, следовательно, каждый ненулевой линейный функционал на нем непрерывен, но ни у одного из них нет непрерывного линейного продолжения на все пространство. Однако возможно, чтобы TVS не было локально выпуклым, но при этом имело достаточное количество непрерывных линейных функционалов, чтобы его сопряжённое непрерывное пространство разделяло точки; для такого TVS непрерывный линейный функционал, определённый на векторном подпространстве, может иметь непрерывное линейное продолжение на всё пространство. Если TVS не является локально выпуклым, то может не существовать непрерывной семинармы, определённой на (а не только на ), которая доминировала бы, в этом случае теорема Хана — Банаха не может быть применена, как это было в приведённом выше доказательстве теоремы непрерывного продолжения. Однако аргумент доказательства можно обобщить, чтобы получить характеристику того, когда непрерывный линейный функционал имеет непрерывное линейное продолжение: если является любым TVS (не обязательно локально выпуклым), то непрерывный линейный функционал, определённый на векторном подпространстве, имеет непрерывное линейное продолжение на всё пространство тогда и только тогда, когда существует некоторая непрерывная семинарма на нём, которая доминирует. В частности, если дано непрерывное линейное продолжение, то оно является непрерывной семинармой на нём, которая доминирует, и наоборот, если дана непрерывная семинарма на нём, которая доминирует, то любое доминирующее линейное продолжение на него (существование которого гарантируется теоремой Хана — Банаха) будет непрерывным линейным продолжением.
However, it is possible for a TVS to not be locally convex but nevertheless have enough continuous linear functionals that its continuous dual space separates points; for such a TVS, a continuous linear functional defined on a vector subspace might have a continuous linear extension to the whole space. If the TVS is not locally convex then there might not exist any continuous seminorm defined on (not just on ) that dominates in which case the Hahn–Banach theorem can not be applied as it was in the above proof of the continuous extension theorem. However, the proof's argument can be generalized to give a characterization of when a continuous linear functional has a continuous linear extension: If is any TVS (not necessarily locally convex), then a continuous linear functional defined on a vector subspace has a continuous linear extension to all of if and only if there exists some continuous seminorm on that dominates Specifically, if given a continuous linear extension then is a continuous seminorm on that dominates and conversely, if given a continuous seminorm on that dominates then any dominated linear extension of to (the existence of which is guaranteed by the Hahn–Banach theorem) will be a continuous linear extension.
Геометрические теоремы разделения Ханна-Банаха
Ключевым элементом теоремы Хана — Банаха является, по сути, результат об отделении двух выпуклых множеств: и . Этот тип аргументации широко встречается в выпуклой геометрии, теории оптимизации и экономике. Леммы, выведенные для этой цели из исходной теоремы Хана — Банаха, известны как теоремы разделения Хана — Банаха. Они являются обобщением теоремы о разделении гиперплоскостью, которая утверждает, что два непересекающихся непустых выпуклых подмножества конечномерного пространства могут быть разделены некоторой аффинной гиперплоскостью, являющейся слоем (набором уровней) вида , где — ненулевой линейный функционал, а — скаляр. Следующее важное следствие известно как геометрическая теорема Хана — Банаха или теорема Мазура (также известная как теорема Асколи — Мазура). Оно вытекает из вышеуказанного и выпуклости .
Теорема Мазура уточняет, что векторные подпространства (даже незамкнутые) могут быть охарактеризованы линейными функционалами.