Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Үш өлшемдегі нүктелік изометриялар тобы
Groups of point isometries in 3 dimensions
Геометрияда үш өлшемдегі нүктелік топ – бастапқы нүктені өзгеріссіз қалдыратын үш өлшемдегі изометриялар тобы немесе сәйкесінше сфераның изометриялар тобы. Ол ортогональды топ O(3)-тің кіші тобы, бастапқы нүктені өзгеріссіз қалдыратын барлық изометриялар тобы немесе сәйкесінше ортогональды матрицалар тобы. O(3) өзі барлық изометриялардың Евклидтік тобы E(3)-тің кіші тобы болып табылады. Геометриялық нысандардың симметриялық топтары – изометриялық топтар. Осыған сәйкес, изометриялық топтарды талдау – мүмкін симметрияларды талдау. Шектелген (соңы бар) 3D нысанының барлық изометрияларында бір немесе бірнеше ортақ тұрақты нүктелер болады. Біз әдеттегідей, олардың бірі ретінде бастапқы нүктені таңдаймыз. Нысанның симметрия тобы кейде оның толық симметрия тобы деп те аталады, оның толық симметрия тобына қарама-қарсы, оның толық симметрия тобының E+(3) жиынымен қиылысы, ол барлық тікелей изометриялардан тұрады, яғни бағдарды сақтайтын изометриялар. Шектелген нысан үшін тиісті симметрия тобы оның айналу тобы деп аталады. Ол оның толық симметрия тобының SO(3) – 3D кеңістіктің толық айналу тобымен қиылысы. Шектелген нысанның айналу тобы оның толық симметрия тобына тең, егер және тек егер нысан хиральды болса. Бір нүктеден өтетін айна жазықтықтарының шекті жиынтығы арқылы ғана туындайтын нүктелік топтар – шекті Коксетер топтары, Коксетер белгісімен көрсетіледі. Үш өлшемдегі нүктелік топтар химияда, әсіресе молекуланың және ковалентті байланыстарды құрайтын молекулалық орбитальдардың симметриясын сипаттау үшін кеңінен қолданылады, және осы контексте оларды молекулалық нүктелік топтар деп те атайды.
In geometry, a point group in three dimensions is an isometry group in three dimensions that leaves the origin fixed, or correspondingly, an isometry group of a sphere. It is a subgroup of the orthogonal group O(3), the group of all isometries that leave the origin fixed, or correspondingly, the group of orthogonal matrices. O(3) itself is a subgroup of the Euclidean group E(3) of all isometries. Symmetry groups of geometric objects are isometry groups. Accordingly, analysis of isometry groups is analysis of possible symmetries. All isometries of a bounded (finite) 3D object have one or more common fixed points. We follow the usual convention by choosing the origin as one of them. The symmetry group of an object is sometimes also called its full symmetry group, as opposed to its proper symmetry group, the intersection of its full symmetry group with E+(3), which consists of all direct isometries, i. e., isometries preserving orientation. For a bounded object, the proper symmetry group is called its rotation group. It is the intersection of its full symmetry group with SO(3), the full rotation group of the 3D space. The rotation group of a bounded object is equal to its full symmetry group if and only if the object is chiral. The point groups that are generated purely by a finite set of reflection mirror planes passing through the same point are the finite Coxeter groups, represented by Coxeter notation. The point groups in three dimensions are heavily used in chemistry, especially to describe the symmetries of a molecule and of molecular orbitals forming covalent bonds, and in this context they are also called molecular point groups.
Шексіз изометриялық топтар
Көптеген шексіз изометриялық топтар бар; мысалы, "циклдік топ" (бір элементпен туындайды, бұл торсиялық топтан өзгеше) – белгілі бір ось маңында иррационалды санға тең бұрылыспен туындаған топ. Бір ось маңындағы қосымша бұрылыстарды қосу арқылы циклдік емес абельдік топтарды құруға болады. Шеңбер бойындағы рационалды бұрыштардағы нүктелер жиыны, шексіз генераторлар қажетті нүктелік топты көрсетеді. Әртүрлі осьтер маңындағы бұрылыстар арқылы туындайтын абельдік емес топтар да бар. Бұл әдетте (жалпы жағдайда) еркін топтар болып табылады. Бұрылыстар ерекше таңдалмаса, олар шексіз болады. Осыған дейін айтылған барлық шексіз топтар O(3) топологиялық кіші топтары ретінде жабық емес. Енді O(3) топологиялық жағынан жабық кіші топтарын қарастырамыз. Толық O(3) сфералық симметрияның симметрия тобы болып табылады; SO(3) – сәйкес бұрылыс тобы. Басқа шексіз изометриялық топтар, бастапқы нүкте арқылы өтетін ось маңындағы барлық бұрылыстардан, сондай-ақ ось арқылы жазықтықтағы қосымша көріністерден және/немесе бастапқы нүкте арқылы өтетін, оське перпендикуляр жазықтықтағы көріністерден тұрады. Ось арқылы жазықтықтағы көріністері бар топтар, бастапқы нүкте арқылы өтетін жазықтықтағы көріністерімен немесе көрінбейтін топтар, екі типті цилиндрлік симметрия үшін симметрия топтары болып табылады. Кез келген 3D нысанның (R3 ішкі жиынының) шексіз бұрылыс симметриясы болса, онда оның осі арқылы өтетін әрбір жазықтықта айна симметриясы да болуы керек. Шексіз бұрылыс симметриясы бар физикалық нысандар да ось арқылы өтетін жазықтықтағы айна симметриясына ие болады, бірақ векторлық өрістерде осылай болмауы мүмкін, мысалы, ось маңында бұрылатын конус жылдамдық векторлары немесе сымды қоршап тұрған магниттік өріс. Жеті шексіз сериялы осьтік топтар бес шектеулі топқа (олардың екеуі қайталанады) әкеледі, ал қалған жеті нүктелік топ тағы екі үздіксіз топты тудырады. Халықаралық белгілеуде тізім: ∞, ∞2, ∞/m, ∞mm, ∞/mm, ∞∞ және ∞∞m. Бұлардың барлығы физикалық нысандар үшін мүмкін емес, мысалы, ∞∞ симметриясы бар нысандардың ∞∞m симметриясы да болады. Басқа белгілеулер мен толық ақпаратты төменде қараңыз.
There are many infinite isometry groups; for example, the "cyclic group" (meaning that it is generated by one element – not to be confused with a torsion group) generated by a rotation by an irrational number of turns about an axis. We may create non cyclical abelian groups by adding more rotations around the same axis. The set of points on a circle at rational numbers of degrees around the circle illustrates a point group requiring an infinite number of generators. There are also non abelian groups generated by rotations around different axes. These are usually (generically) free groups. They will be infinite unless the rotations are specially chosen. All the infinite groups mentioned so far are not closed as topological subgroups of O(3). We now discuss topologically closed subgroups of O(3). The whole O(3) is the symmetry group of spherical symmetry; SO(3) is the corresponding rotation group. The other infinite isometry groups consist of all rotations about an axis through the origin, and those with additionally reflection in the planes through the axis, and/or reflection in the plane through the origin, perpendicular to the axis. Those with reflection in the planes through the axis, with or without reflection in the plane through the origin perpendicular to the axis, are the symmetry groups for the two types of cylindrical symmetry. Any 3D shape (subset of R3) having infinite rotational symmetry must also have mirror symmetry for every plane through the axis. Physical objects having infinite rotational symmetry will also have the symmetry of mirror planes through the axis, but vector fields may not, for instance the velocity vectors of a cone rotating about its axis, or the magnetic field surrounding a wire. The seven infinite series of axial groups lead to five limiting groups (two of them are duplicates), and the seven remaining point groups produce two more continuous groups. In international notation, the list is ∞, ∞2, ∞/m, ∞mm, ∞/mm, ∞∞, and ∞∞m. Not all of these are possible for physical objects, for example objects with ∞∞ symmetry also have ∞∞m symmetry. See below for other designations and more details.