Введение
Группы точечных изометрий в 3 измерениях
В геометрии точечная группа в трех измерениях — это группа изометрий в трех измерениях, фиксирующая начало координат, или, что эквивалентно, группа изометрий сферы. Она является подгруппой ортогональной группы O(3), группы всех изометрий, фиксирующих начало координат, или, что эквивалентно, группы ортогональных матриц. Сама O(3) является подгруппой евклидовой группы E(3) всех изометрий. Группы симметрии геометрических объектов являются группами изометрий. Следовательно, анализ групп изометрий — это анализ возможных симметрий. Все изометрии ограниченного (конечного) 3D объекта имеют одну или несколько общих неподвижных точек. Мы придерживаемся общепринятого соглашения и выбираем начало координат в качестве одной из них. Группу симметрии объекта иногда также называют его полной группой симметрии, в отличие от его собственной группы симметрии, которая является пересечением полной группы симметрии с E+(3), состоящей из всех прямых изометрий, то есть изометрий, сохраняющих ориентацию. Для ограниченного объекта собственная группа симметрии называется его группой вращения. Это пересечение его полной группы симметрии с SO(3), полной группой вращения 3D пространства. Группа вращения ограниченного объекта равна его полной группе симметрии тогда и только тогда, когда объект является хиральным. Точечные группы, порожденные конечным набором плоскостей отражения, проходящих через одну и ту же точку, являются конечными группами Коксетера, представленными в нотации Коксетера. Точечные группы в трех измерениях широко используются в химии, особенно для описания симметрий молекул и молекулярных орбиталей, образующих ковалентные связи, и в этом контексте их также называют молекулярными точечными группами.
Бесконечные изометрические группы
Существует множество бесконечных изометрических групп; например, "циклическая группа" (в смысле, что она порождается одним элементом – не следует путать с группой кручения), порожденная вращением на иррациональное число оборотов вокруг оси. Мы можем создавать нециклические абелевы группы, добавляя больше вращений вокруг одной и той же оси. Множество точек на окружности, расположенных на рациональных углах, иллюстрирует точечную группу, требующую бесконечного числа образующих. Существуют также неабелевы группы, порожденные вращениями вокруг разных осей. Обычно это (в общем случае) свободные группы. Они будут бесконечными, если только вращения не выбраны особым образом. Все бесконечные группы, упомянутые до сих пор, не являются замкнутыми как топологические подгруппы O(3). Теперь мы обсудим топологически замкнутые подгруппы O(3). Вся группа O(3) является группой симметрии сферической симметрии; SO(3) – соответствующая группа вращений. Другие бесконечные изометрические группы состоят из всех вращений вокруг оси, проходящей через начало координат, а также тех, которые дополнительно включают отражения в плоскостях, проходящих через эту ось, и/или отражения в плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно оси. Группы симметрии для двух типов цилиндрической симметрии – это те, которые включают отражения в плоскостях, проходящих через ось, с отражением или без отражения в плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно оси. Любая трехмерная фигура (подмножество R3), обладающая бесконечной вращательной симметрией, также должна обладать зеркальной симметрией относительно каждой плоскости, проходящей через ось. Физические объекты, обладающие бесконечной вращательной симметрией, также будут обладать симметрией зеркальных плоскостей, проходящих через ось, но векторные поля могут не обладать ею, например, векторы скорости конуса, вращающегося вокруг своей оси, или магнитное поле, окружающее провод. Семь бесконечных рядов осевых групп приводят к пяти предельным группам (две из них являются дубликатами), а семь оставшихся точечных групп порождают еще две непрерывные группы. В международной нотации список выглядит следующим образом: ∞, ∞2, ∞/m, ∞mm, ∞/mm, ∞∞ и ∞∞m. Не все из них возможны для физических объектов, например, объекты с симметрией ∞∞ также обладают симметрией ∞∞m. Другие обозначения и более подробная информация приведены ниже.