Кіріспе
Топологиялық векторлық кеңістіктер үшін тензорлық көбейтінділер құрастыру. Математикада екі топологиялық векторлық кеңістіктің топологиялық тензорлық көбейтіндісін құрудың әдетте көптеген әртүрлі тәсілдері бар. Гилберт кеңістіктері немесе ядролық кеңістіктер үшін тензорлық көбейтінділердің жақсы қалыптасқан, қарапайым теориясы бар (Гилберт кеңістіктерінің тензорлық көбейтіндісін қараңыз), бірақ жалпы Банах кеңістіктері немесе жергілікті дөңес топологиялық векторлық кеңістіктер үшін теория өте күрделі және нәзік болып саналады.
Мотивация
Топологиялық тензорлық өнімдердің бастапқы себептерінің бірі – тегіс, нақты мәнді функциялар кеңістіктерінің тензорлық көбейтінділері күтілгендей қасиетке ие болмайды. Инъекция бар, бірақ бұл изоморфизм емес. Мысалы, функцияны кеңістіктегі тегіс функциялардың шекті сызықтық комбинациясы түрінде көрсету мүмкін емес. Тек топологиялық тензорлық көбейтіндіні құрғаннан кейін ғана изоморфизмге қол жеткізіледі; яғни,
but this is not an isomorphism. For example, the function cannot be expressed as a finite linear combination of smooth functions in We only get an isomorphism after constructing the topological tensor product; i. e.,
This article first details the construction in the Banach space case. The space is not a Banach space and further cases are discussed at the end.
Бұл мақалада ең алдымен Банах кеңістігі жағдайындағы құрылыс егжей-тегжейлі қарастырылады. Бұл кеңістік Банах кеңістігі емес, ал қалған жағдайлар мақала соңында талқыланады.
but this is not an isomorphism. For example, the function cannot be expressed as a finite linear combination of smooth functions in We only get an isomorphism after constructing the topological tensor product; i. e.,
This article first details the construction in the Banach space case. The space is not a Banach space and further cases are discussed at the end.
Гилберт кеңістіктерінің тензорлы көбейтінділері
Екі Гильберт кеңістігінің алгебралық тензорлық көбейтіндісі А және В-нің сесквилинейлік формаларынан туындайтын табиғи оң анықталған сесквилинейлік формаға (скалярлық көбейтіндіге) ие. Сондықтан, оның табиғи оң анықталған квадраттық формасы бар, ал оның толықтырылуы А ⊗ В Гильберт кеңістігін құрайды, ол А мен В-нің (Гильберт кеңістігі) тензорлық көбейтіндісі деп аталады. Егер ai және bj векторлары А және В-нің ортонормалдық базалары бойынша өтетін болса, онда ai ⊗ bj векторлары А ⊗ В-нің ортонормалдық базасын құрайды.
Жергілікті түрде құрғақ топологиялық векторлық кеңістіктердің тензорлық туындылары
Жергілікті дөңес топологиялық векторлық кеңістіктердің топологиясы семинормалар отбасыларымен беріледі. және кеңістіктеріндегі әрбір семинорма таңдалымы үшін алгебралық тензорлық көбейтіндісінде сәйкес келетін қиылыс нормаларының отбасын анықтауға болады. Әр отбасынан бір қиылыс нормасын таңдау арқылы біз топологияны анықтайтын қиылыс нормаларының жиынтығын аламыз. Мұны істеудің мүмкіндіктері өте көп. Ең маңызды екі тәсіл – барлық проективті қиылыс нормаларын немесе барлық инъективті қиылыс нормаларын алу. Соның нәтижесінде алынған топологиялардың толықтырылуы проективті және инъективті тензорлық көбейтінділер деп аталады және сәйкесінше және арқылы белгіленеді. Егер немесе ядролық кеңістік болса, онда кеңістігінен кеңістігіне табиғи бейнелеу изоморфизм болады. Шамамен айтқанда, егер немесе ядролық болса, онда және кеңістіктерінің тек бір ғана дұрыс тензорлық көбейтіндісі болады. Осы қасиет ядролық кеңістіктерді сипаттайды.
If or is a nuclear space then the natural map from to is an isomorphism. Roughly speaking, this means that if or is nuclear, then there is only one sensible tensor product of and This property characterizes nuclear spaces.