Введение
Конструкции тензорного произведения для топологических векторных пространств. В математике обычно существует множество различных способов построения топологического тензорного произведения двух топологических векторных пространств. Для гильбертовых пространств или ядерных пространств существует простая и хорошо разработанная теория тензорных произведений (см. Тензорное произведение пространств Гильберта), но для общих пространств Банаха или локально выпуклых топологических векторных пространств теория печально известна своей сложностью и тонкостями.
Мотивация
Одной из первоначальных мотиваций для топологических тензорных произведений является тот факт, что тензорные произведения пространств гладких вещественнозначных функций не ведут себя так, как ожидается. Существует инъекция, но это не изоморфизм. Например, функцию нельзя представить в виде конечной линейной комбинации гладких функций в . Изоморфизм достигается только после построения топологического тензорного произведения, то есть . В данной статье сначала подробно описывается построение в случае банахова пространства. Пространство не является банаховым пространством, и другие случаи рассматриваются в конце.
but this is not an isomorphism. For example, the function cannot be expressed as a finite linear combination of smooth functions in We only get an isomorphism after constructing the topological tensor product; i. e.,
This article first details the construction in the Banach space case. The space is not a Banach space and further cases are discussed at the end.
Тензорные произведения гильбертовых пространств
Алгебраическое тензорное произведение двух пространств Гильберта A и B имеет естественную положительно определенную сесквилинейную форму (скалярное произведение), индуцированную сесквилинейными формами пространств A и B. Следовательно, оно имеет естественную положительно определенную квадратичную форму, и соответствующее завершение является пространством Гильберта A ⊗ B, называемым тензорным произведением A и B. Если векторы ai и bj пробегают ортонормальные базисы A и B, то векторы ai ⊗ bj образуют ортонормальный базис A ⊗ B.
Тензорные произведения локально выпуклых топологических векторных пространств
Топологии локально выпуклых топологических векторных пространств и задаются семействами полунорм. Для каждого выбора полунормы на и на мы можем определить соответствующее семейство перекрестных норм на алгебраическом тензорном произведении , и, выбирая одну перекрестную норму из каждого семейства, мы получаем некоторые перекрестные нормы, определяющие топологию. В общем случае существует огромное количество способов это сделать. Два наиболее важных способа — выбрать все проективные перекрестные нормы или все инъективные перекрестные нормы. Завершения полученных топологий называются проективным и инъективным тензорными произведениями и обозначаются и . Существует естественное отображение из в .
Если или является ядерным пространством, то естественное отображение из в является изоморфизмом. Грубо говоря, это означает, что если или является ядерным, то существует только одно естественное тензорное произведение и . Это свойство характеризует ядерные пространства.