Ватт қисығы: математикадағы 6-дәрежелі алгебралық қисық. Бұл екі шеңбердің арақатынасымен және Джеймс Ватттың бу машинасына қатысты зерттеулерімен байланысты.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Алгебралық қисық
Algebraic curve
Математикада Уатт қисығы – алты дәрежелі үшшеңберлі жазықтық алгебралық қисық. Ол радиусы b болатын екі шеңбер арқылы жасалады, олардың орталықтары 2a қашықтықта орналасқан (±a, 0 нүктелерінде). Ұзындығы 2c болатын сызық сегменті әр шеңбердегі бір нүктеге қосылады, ал сызық сегментінің ортасы шеңберлер ішінара алға-артқа немесе толық айналғанда Уатт қисығын құрайды. Бұл қисық Джеймс Уатттың бу машинасы саласындағы алғашқы жұмыстарымен байланысты туындаған. Қисықтың теңдеуін полярлық координаттарда былай беруге болады:
In mathematics, Watt's curve is a tricircular plane algebraic curve of degree six. It is generated by two circles of radius b with centers distance 2a apart (taken to be at (±a, 0)). A line segment of length 2c attaches to a point on each of the circles, and the midpoint of the line segment traces out the Watt curve as the circles rotate partially back and forth or completely around. It arose in connection with James Watt's pioneering work on the steam engine. The equation of the curve can be given in polar coordinates as
Иілгіштің пішіні
Құрылысқа 2a, b, 2c, b қабырғалары бар төртбұрыш қажет. Кез келген қабырғасы қалған қабырғаларының қосындысынан кем болуы керек, сондықтан a<b+c және c<b+a болмаса қисық бос (кем дегенде нақты жазықтықта). Егер a, b және c қабырғалары бар үшбұрыш болса, қисық нөл нүктесінен өтеді. Бұрынғы шарттарды ескере отырып, бұл қисық нөл нүктесінен тек қана b<a+c болғанда өтеді. Егер b=a+c болса, қисықтың екі тармағы нөл нүктесінде ортақ тік түйінмен түйіседі, бұл төрттік нүке болады. b<a+c болған жағдайда, қисықтың пішіні b және d-нің салыстырмалы шамасына байланысты анықталады. Егер d жорамал болса, яғни a2+b2<c2 болса, қисық сегіздік пішініне ие. Егер d 0 болса, қисық сегіздік болып табылады, және қисықтың екі тармағы нөл нүктесінде ортақ көлденең түйінге ие. Егер 0<d<b болса, қисықтың ±d нүктелерінде екі қосымша екі еселік нүкесі болады және қисық осы нүктелерде өзін-өзі кесіп өтеді. Осы жағдайда қисықтың жалпы пішіні претцель тәрізді болады. Егер d=b болса, онда a=c және қисық радиусы b болатын шеңберге және Буттың лемнискатасына, яғни сегіздік пішіндес қисыққа ыдырайды. Бұның ерекше жағдайы a=c, b=√2c, бұл Бернулли лемнискатасын тудырады. Соңында, егер d>b болса, ±d нүктелері қисықтың декарт теңдеуіне орай шешім болып табылады, бірақ қисық осы нүктелерден өтіп кетпейді және олар түйіндер болып табылады. Қисық тағы да сегіздік пішіндес, бірақ d, b-ға жақын болғанда пішіні бұрмаланады. Егер b>a+c болса, қисықтың пішіні a және c-тің салыстырмалы өлшемдерімен анықталады. Егер a<c болса, қисық екі шеңберден тұрады, олар ±d нүктелерінде бірін-бірі кесіп өтеді. Егер a=c болса, қисық радиусы b болатын шеңберге және Буттың овалына ыдырайды. Егер a>c болса, қисық x осін мүлдем кесіп өтпейді және екі жалпақ овалдан тұрады.
The construction requires a quadrilateral with sides 2a, b, 2c, b. Any side must be less than the sum of the remaining sides, so the curve is empty (at least in the real plane) unless a<b+c and c<b+a. The curve has a crossing point at the origin if there is a triangle with sides a, b and c. Given the previous conditions, this means that the curve crosses the origin if and only if b<a+c. If b=a+c then two branches of the curve meet at the origin with a common vertical tangent, making it a quadruple point. Given b<a+c, the shape of the curve is determined by the relative magnitude of b and d. If d is imaginary, that is if a2+b2 <c2 then the curve has the form of a figure eight. If d is 0 then the curve is a figure eight with two branches of the curve having a common horizontal tangent at the origin. If 0<d<b then the curve has two additional double points at ±d and the curve crosses itself at these points. The overall shape of the curve is pretzel like in this case. If d=b then a=c and the curve decomposes into a circle of radius b and a lemniscate of Booth, a figure eight shaped curve. A special case of this is a=c, b=√2c which produces the lemniscate of Bernoulli. Finally, if d>b then the points ±d are still solutions to the Cartesian equation of the curve, but the curve does not cross these points and they are acnodes. The curve again has a figure eight shape though the shape is distorted if d is close to b. Given b>a+c, the shape of the curve is determined by the relative sizes of a and c. If a<c then the curve has the form of two loops that cross each other at ±d. If a=c then the curve decomposes into a circle of radius b and an oval of Booth. If a>c then the curve does not cross the x axis at all and consists of two flattened ovals.
Ватт байланысы
Иілгіш координаталар басынан өтетін болса, координаталар басы бұрылыс нүктесі болып табылады және де соған сәйкес 3-ретті жанысуға ие. Бірақ, егер (яғни қабырғалары , және болатын үшбұрыш тікбұрышты болса) жанысу 5-ретті болады, яғни қисық сызық түзу сызыққа өте жақын. Бұл Уатт механизмінің негізі.
When the curve crosses the origin, the origin is a point of inflection and therefore has contact of order 3 with a tangent. However, if (which is the case if the triangle with sides , and is a right triangle) then tangent has contact of order 5 with the tangent, in other words the curve is a close approximation of a straight line. This is the basis for Watt's linkage.