Введение

Алгебраическая кривая

В математике кривая Уотта — это трикруглая плоская алгебраическая кривая шестой степени. Она генерируется двумя окружностями радиуса b, центры которых находятся на расстоянии 2a друг от друга (предполагается, что они расположены в точках (±a, 0)). К точкам на каждой из окружностей прикреплены отрезки прямой длиной 2c, а середина этих отрезков описывает кривую Уотта при частичном или полном вращении окружностей взад и вперед. Она возникла в связи с пионерскими работами Джеймса Уатта над паровой машиной. Уравнение кривой может быть задано в полярных координатах следующим образом:

Форма кривой

Конструкция требует четырехугольника со сторонами 2a, b, 2c, b. Любая сторона должна быть меньше суммы остальных сторон, поэтому кривая пуста (по крайней мере, в реальной плоскости), если a < b + c и c < b + a. Кривая имеет точку пересечения в начале координат, если существует треугольник со сторонами a, b и c. При этих условиях это означает, что кривая пересекает начало координат тогда и только тогда, когда b < a + c. Если b = a + c, то две ветви кривой встречаются в начале координат с общей вертикальной касательной, образуя четверную точку. Если b < a + c, форма кривой определяется относительной величиной b и d. Если d мнимое, то есть если a² + b² < c², то кривая имеет форму восьмерки. Если d равно 0, то кривая представляет собой восьмерку с двумя ветвями, имеющими общую горизонтальную касательную в начале координат. Если 0 < d < b, то кривая имеет две дополнительные двойные точки в ±d и самопересекается в этих точках. Общая форма кривой в этом случае напоминает крендель. Если d = b, то a = c и кривая распадается на окружность радиусом b и лемнискату Бута – восьмеркообразную кривую. Частным случаем этого является a = c, b = √2c, что дает лемнискату Бернулли. Наконец, если d > b, то точки ±d по-прежнему являются решениями декартова уравнения кривой, но кривая не пересекает эти точки, и они являются узлами. Кривая снова имеет форму восьмерки, хотя форма искажается, если d близко к b. Если b > a + c, форма кривой определяется относительными размерами a и c. Если a < c, то кривая имеет форму двух петель, пересекающихся в точках ±d. Если a = c, то кривая распадается на окружность радиусом b и овал Бута. Если a > c, то кривая вообще не пересекает ось x и состоит из двух сплющенных овалов.

Связь Ватта

Когда кривая пересекает начало координат, начало координат является точкой перегиба и, следовательно, имеет контакт третьего порядка с касательной. Однако, если (что имеет место, если треугольник со сторонами , и является прямоугольным), то касательная имеет контакт пятого порядка с касательной, иными словами, кривая является близким приближением прямой линии. Это лежит в основе механизма Уотта.