Квазиинвариантты өлшемдер, математикадағы трансформацияларға қатысты, шамамен айтқанда, T функциясының сандық функциясымен көбейтіледі. Теория, диффеоморфизмдер, коциклдер.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикада, трансформация T-ға қатысты квази-инварианттық шама μ, өлшемдік кеңістік X-тен өзіне дейінгі, – T-ның сандық функциясымен көбейтілетін шама. Мысалдардың маңызды класы X тегіс көпқырлы M, T – M дифеоморфизмі және μ – жергілікті түрде Евклид кеңістігіндегі Лебег өлшеміне негізделген кез келген өлшем болғанда пайда болады. Онда T-ның μ-ға әсері жергілікті түрде T туындысының (итеру) Якобиандық детерминантына көбейту арқылы өрнектеледі.
In mathematics, a quasi invariant measure μ with respect to a transformation T, from a measure space X to itself, is a measure which, roughly speaking, is multiplied by a numerical function of T. An important class of examples occurs when X is a smooth manifold M, T is a diffeomorphism of M, and μ is any measure that locally is a measure with base the Lebesgue measure on Euclidean space. Then the effect of T on μ is locally expressible as multiplication by the Jacobian determinant of the derivative (pushforward) of T.
Бұл идеяны өлшем теориясының терминдерімен формальды түрде білдіру үшін, өзгертілген өлшем μ' -тың μ-ға қатысты Радон-Никодим туындысы барлық жерде болуы керек; немесе екі өлшем эквивалентті болуы керек (яғни, өзара абсолюттік үздіксіздік):
To express this idea more formally in measure theory terms, the idea is that the Radon–Nikodym derivative of the transformed measure μ′ with respect to μ should exist everywhere; or that the two measures should be equivalent (i. e. mutually absolutely continuous):
Басқаша айтқанда, T нөлдік өлшемді жиынның түсінігін сақтайды. μ-ға эквивалентті ν өлшемдерінің барлық эквиваленттік класын қарастырғанда, T класты тұтастай сақтайды деу де осылай, кез келген мұндай өлшемді басқа мұндай өлшемге бейімдейді. Сондықтан, квази-инварианттық өлшемнің ұғымы инварианттық өлшем класымен бірдей. Жалпы, өлшем класы ішінде көбейту арқылы қозғалудың "еркіндігі" трансформациялар құрастырылғанда коциклдерге әкеледі. Мысалы, Евклид кеңістігіндегі Rn Гаусс өлшемі аударма кезінде инвариант емес (Лебег өлшемі сияқты), бірақ барлық аудармаларда квази-инвариант. Егер E – толық емес Банах кеңістігі болса және μ – E элементтері арқылы барлық аудармаларда квази-инвариант болатын E-дегі жергілікті шекті Борель өлшемі болса, онда dim(E) < +∞ немесе μ тривиальды өлшем μ ≡ 0 болады.
That means, in other words, that T preserves the concept of a set of measure zero. Considering the whole equivalence class of measures ν, equivalent to μ, it is also the same to say that T preserves the class as a whole, mapping any such measure to another such. Therefore, the concept of quasi invariant measure is the same as invariant measure class. In general, the 'freedom' of moving within a measure class by multiplication gives rise to cocycles, when transformations are composed. As an example, Gaussian measure on Euclidean space Rn is not invariant under translation (like Lebesgue measure is), but is quasi invariant under all translations. It can be shown that if E is a separable Banach space and μ is a locally finite Borel measure on E that is quasi invariant under all translations by elements of E, then either dim(E) < +∞ or μ is the trivial measure μ ≡ 0.