Введение

В математике квазиинвариантная мера μ относительно преобразования T, отображающего измеримое пространство X в себя, — это мера, которая, грубо говоря, умножается на некоторую числовую функцию от T. Важный класс примеров возникает, когда X является гладким многообразием M, T — диффеоморфизмом M, а μ — любая мера, которая локально имеет в качестве основания меру Лебега на евклидовом пространстве. Тогда воздействие T на μ локально выражается как умножение на якобианский детерминант производной (прямого отображения) T.

Чтобы выразить эту идею более формально в терминах теории меры, необходимо, чтобы производная Радона — Никодима преобразованной меры μ′ по отношению к μ существовала всюду; или, что то же самое, чтобы две меры были эквивалентными (то есть взаимно абсолютно непрерывными):

Это означает, другими словами, что T сохраняет понятие множества меры нуль. Рассматривая весь класс эквивалентности мер ν, эквивалентных μ, можно также сказать, что T сохраняет класс в целом, отображая любую такую меру в другую меру того же класса. Следовательно, понятие квазиинвариантной меры эквивалентно понятию инвариантного класса мер. В общем случае, «свобода» перемещения внутри класса мер посредством умножения приводит к коциклам при композиции преобразований. Например, гауссовская мера на евклидовом пространстве Rn не является инвариантной относительно сдвигов (как мера Лебега), но является квазиинвариантной относительно всех сдвигов. Можно показать, что если E — сепаративное банахово пространство и μ — локально конечная мера Бореля на E, квазиинвариантная относительно всех сдвигов на элементы E, то либо dim(E) < +∞, либо μ — тривиальная мера, то есть μ ≡ 0.