Кіріспе

Кез келген нақты санның жақсы рационалды жуықтамалар тізбегі бар. Сандар теориясында Дирихлетің Диофантикалық жуықтау туралы теоремасы, сондай-ақ Дирихлетің жуықтау теоремасы деп те аталады, кез келген нақты сандар α және ε үшін, егер ε > 0 болса, онда осындай және шартын қанағаттандыратын бүтін сандар p және q бар.

Мұнда [x] – x санының бүтін бөлігін білдіреді. Бұл Диофантикалық жуықтаудағы маңызды нәтиже, кез келген нақты санның жақсы рационалды жуықтамалар тізбегі бар екенін көрсетеді: шындығында, тікелей салдары – берілген иррационалды α үшін теңсіздік

шеңберіндегі шексіз көп бүтін p және q сандарымен орындалады. Бұл кез келген иррационалды санның иррационалдық шамасы кем дегенде 2 екенін көрсетеді. Тюе–Зигель–Рот теоремасы алгебралық иррационалдық сандар үшін Дирихлетің жуықтау теоремасының салдарындағы 2 көрсеткіші – біздің мүмкіндігіміздің шегі дейді: мұндай сандарды 2-ден жоғары көрсеткішпен жуықтауға болмайды. Тюе–Зигель–Рот теоремасы сандар теориясының күрделі әдістерін қолданады, бірақ алтын қатынас сияқты көптеген қарапайым сандарды 2-ден асып кетуіне болмайтындығын тексеру оңай.

Лежендренің жалғастыра түсетін бөлшектер туралы теоремасы

1798 жылғы «Эссе сюр ла теория дес нумера» еңбегінде Адриен Мари Лежендр рационал санның берілген нақты санның тізбекті бөлшегінің жуыспалысы болуы үшін қажетті және жеткілікті шартты шығарады. Тізбекті бөлшектерді зерттеуде Лежендр теоремасы деп аталатын осы критерийдің салдары мынадай:

Теорема. Егер α нақты сан болса және p, q оң бүтін сандар болса, онда p/q α-ның тізбекті бөлшегінің жуыспалысы болады. Дәлелдеме. Біз Г.Х. Харди мен Э.М. Райттың «Сандар теориясына кіріспе» кітабында келтірілген дәлелдемені қолданамыз. α, p, q осындай деп есептейік, және α > p/q деп есептейік. Онда 0 < θ < 1/2 деп жазамыз. p/q-ны [a0; a1, ..., an] түріндегі шекті тізбекті бөлшек ретінде жазамыз, мұнда әр рационал санның ұзындығы бірге ерекшеленетін екі түрлі жазылуы бар (атап айтқанда, біреуінде an = 1, ал екіншісінде an ≠ 1), сондықтан n-ді жұп сан етіп таңдауға болады. (α < p/q болған жағдайда n-ді тақ сан етіп таңдаймыз.) p0/q0, ..., pn/qn = p/q осы тізбекті бөлшектің кеңеюінің жуыспалылары болсын. pn-1qn - pnqn-1 = (-1)n және n жұп сан екенін ескере отырып, бұл теңдеу α = [a0; a1, ..., an, ω] екенін білдіреді. 0 < θ < 1/2 болғандықтан ω > 1, демек α-ның тізбекті бөлшек кеңеюі [a0; a1, ..., an, b0, b1, ...] түрінде болуы керек, мұнда [b0; b1, ...] ω-ның тізбекті бөлшек кеңеюі, сондықтан pn/qn = p/q α-ның тізбекті бөлшегінің жуыспалысы болады. Бұл теорема Wiener шабуылының негізін құрайды, ол RSA криптографиялық протоколының полиномиалдық уақыттағы әлсіздігі, ал қоғамдық және жеке кілттерді дұрыс таңдамаған жағдайда пайда болуы мүмкін (егер қоғамдық кілттің n = pq алғашқы көбейткіштері p < q < 2p шартын қанағаттандырса және жеке кілт d (1/3)n1/4-тен кем болса, онда бұл шабуыл сәтті болады).