Введение
В теории чисел теорема Дирихле о диофантовой аппроксимации, также называемая теоремой Дирихле об аппроксимации, утверждает, что для любых действительных чисел α и β, где β > 0, существуют целые числа p и q такие, что |α - p/q| < β и q > 0.
In number theory, Dirichlet's theorem on Diophantine approximation, also called Dirichlet's approximation theorem, states that for any real numbers and , with , there exist integers and such that and
Here represents the integer part of This is a fundamental result in Diophantine approximation, showing that any real number has a sequence of good rational approximations: in fact an immediate consequence is that for a given irrational α, the inequality
is satisfied by infinitely many integers p and q. This shows that any irrational number has irrationality measure at least 2. The Thue–Siegel–Roth theorem says that, for algebraic irrational numbers, the exponent of 2 in the corollary to Dirichlet’s approximation theorem is the best we can do: such numbers cannot be approximated by any exponent greater than 2. The Thue–Siegel–Roth theorem uses advanced techniques of number theory, but many simpler numbers such as the golden ratio can be much more easily verified to be inapproximable beyond exponent 2.
Здесь [x] обозначает целую часть числа x. Это фундаментальный результат в диофантовой аппроксимации, показывающий, что любое действительное число имеет последовательность хороших рациональных приближений: фактически, непосредственным следствием является то, что для данного иррационального числа α неравенство
In number theory, Dirichlet's theorem on Diophantine approximation, also called Dirichlet's approximation theorem, states that for any real numbers and , with , there exist integers and such that and
Here represents the integer part of This is a fundamental result in Diophantine approximation, showing that any real number has a sequence of good rational approximations: in fact an immediate consequence is that for a given irrational α, the inequality
is satisfied by infinitely many integers p and q. This shows that any irrational number has irrationality measure at least 2. The Thue–Siegel–Roth theorem says that, for algebraic irrational numbers, the exponent of 2 in the corollary to Dirichlet’s approximation theorem is the best we can do: such numbers cannot be approximated by any exponent greater than 2. The Thue–Siegel–Roth theorem uses advanced techniques of number theory, but many simpler numbers such as the golden ratio can be much more easily verified to be inapproximable beyond exponent 2.
|α - p/q| < 1/q²
In number theory, Dirichlet's theorem on Diophantine approximation, also called Dirichlet's approximation theorem, states that for any real numbers and , with , there exist integers and such that and
Here represents the integer part of This is a fundamental result in Diophantine approximation, showing that any real number has a sequence of good rational approximations: in fact an immediate consequence is that for a given irrational α, the inequality
is satisfied by infinitely many integers p and q. This shows that any irrational number has irrationality measure at least 2. The Thue–Siegel–Roth theorem says that, for algebraic irrational numbers, the exponent of 2 in the corollary to Dirichlet’s approximation theorem is the best we can do: such numbers cannot be approximated by any exponent greater than 2. The Thue–Siegel–Roth theorem uses advanced techniques of number theory, but many simpler numbers such as the golden ratio can be much more easily verified to be inapproximable beyond exponent 2.
выполняется для бесконечно многих целых чисел p и q. Это показывает, что любое иррациональное число имеет меру иррациональности не менее 2. Теорема Тью — Сигеля — Рота утверждает, что для алгебраических иррациональных чисел показатель 2 в следствии теоремы Дирихле об аппроксимации является наилучшим возможным: такие числа нельзя приблизить с помощью показателя, большего 2. Теорема Тью — Сигеля — Рота использует передовые методы теории чисел, но для многих более простых чисел, таких как золотое сечение, можно гораздо легче доказать, что они не могут быть приближены с точностью, превышающей показатель 2.
In number theory, Dirichlet's theorem on Diophantine approximation, also called Dirichlet's approximation theorem, states that for any real numbers and , with , there exist integers and such that and
Here represents the integer part of This is a fundamental result in Diophantine approximation, showing that any real number has a sequence of good rational approximations: in fact an immediate consequence is that for a given irrational α, the inequality
is satisfied by infinitely many integers p and q. This shows that any irrational number has irrationality measure at least 2. The Thue–Siegel–Roth theorem says that, for algebraic irrational numbers, the exponent of 2 in the corollary to Dirichlet’s approximation theorem is the best we can do: such numbers cannot be approximated by any exponent greater than 2. The Thue–Siegel–Roth theorem uses advanced techniques of number theory, but many simpler numbers such as the golden ratio can be much more easily verified to be inapproximable beyond exponent 2.
Теорема Лежендра о непрерывных дробях
В своем "Эссе о теории чисел" (1798) Адриан Мари Лежендр выводит необходимое и достаточное условие для того, чтобы рациональное число являлось сходящейся (конвергентом) непрерывной дроби данного действительного числа. Следствием этого критерия, часто называемым теоремой Лежендра в контексте изучения непрерывных дробей, является следующее:
Теорема. Если α – действительное число, а p и q – положительные целые числа, такие что , то p/q является сходящейся (конвергентом) непрерывной дроби α. Доказательство. Мы следуем доказательству, представленному в книге Г. Х. Харди и Э. М. Райта "Введение в теорию чисел". Предположим, что α, p и q удовлетворяют условию , и предположим, что α > p/q. Тогда мы можем записать , где 0 < θ < 1/2. Представим p/q в виде конечной непрерывной дроби [a0; a1, ..., an], где, в силу того, что каждое рациональное число имеет два различных представления в виде конечных непрерывных дробей, отличающихся длиной на единицу (а именно, одно, где an = 1, и другое, где an ≠ 1), мы можем выбрать n четным. (В случае, когда α < p/q, мы выберем n нечетным.) Пусть p0/q0, ..., pn/qn = p/q – сходящиеся (конвергенты) этого разложения в непрерывную дробь. Положим , так что и, следовательно, где мы использовали тот факт, что pn+1qn - pnqn+1 = (-1)n и что n четно. Теперь это уравнение означает, что α = [a0; a1, ..., an, ω]. Поскольку 0 < θ < 1/2 влечет за собой ω > 1, мы заключаем, что разложение α в непрерывную дробь должно иметь вид [a0; a1, ..., an, b0, b1, ...], где [b0; b1, ...] – разложение ω в непрерывную дробь, и, следовательно, pn/qn = p/q является сходящейся (конвергентом) непрерывной дроби α. Эта теорема является основой для атаки Винера – алгоритма взлома криптографического протокола RSA за полиномиальное время, который может быть реализован при неудачном выборе открытого и закрытого ключей (в частности, эта атака успешна, если простые множители открытого ключа n = pq удовлетворяют условиям p < q < 2p, а закрытый ключ d меньше (1/3)n1/4).