Артин L-функциялары және Галуа тобының өкілдіктері
Artin L-function
Артин L-функциясы – Галуа тобының сызықтық бейнесімен байланысты Дирихле қатары. Математикадағы маңызды болжам, тік интегралдау және Лангленд бағдарламасы туралы ақпарат.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикада Артин L функциясы – Галуа тобының G тобындағы ρ сызықтық бейнелеуімен байланыстырылған Дирихле қатарларының бір түрі. Бұл функциялар 1923 жылы Эмиль Артин кластық өріс теориясын зерттеу барысында енгізілді. Олардың негізгі қасиеттері, әсіресе төменде сипатталған Артин болжамы, оңай дәлелдеуге келмейтін болып шықты. Ұсынылып отырған абельдік емес сыныптар өрісі теориясының мақсаты – Артин L функцияларының күрделі аналитикалық сипатын автоморфтық формалар және Лэнгленд бағдарламасы ұсынатындей кеңірек аяға енгізу. Қазірге дейін мұндай теорияның шағын бөлігі ғана берік негізге қойылды.
In mathematics, an Artin L function is a type of Dirichlet series associated to a linear representation ρ of a Galois group G. These functions were introduced in 1923 by Emil Artin, in connection with his research into class field theory. Their fundamental properties, in particular the Artin conjecture described below, have turned out to be resistant to easy proof. One of the aims of proposed non abelian class field theory is to incorporate the complex analytic nature of Artin L functions into a larger framework, such as is provided by automorphic forms and the Langlands program. So far, only a small part of such a theory has been put on a firm basis.
Артиндік болжам
Артиндік L-функцияларға қатысты Артин болжамы, тривиальды емес, азайтылмайтын ρ өкілдігінің Artin L-функциясының барлық кешен жазықтықта аналитикалық екенін айтады. Бұл бір өлшемді өкілдіктер үшін белгілі, L-функциялары кейіннен Гекке таңбаларымен және әсіресе Дирихле L-функцияларымен байланысты. Жалпы алғанда, Артин Артиндік болжамның 1 өлшемді өкілдіктерден индукцияланған барлық өкілдіктер үшін дұрыс екенін көрсетті. Егер Галуа тобы суперрешенді немесе жалпы алғанда мономиалды болса, онда барлық өкілдіктер осы формада болады, сондықтан Артин болжамы орындалады. Андре Вейль функциялық өрістер жағдайында Артиндік болжамды дәлелдеді. Екі өлшемді өкілдіктер бейнелік кіші топтың сипатына қарай жіктеледі: ол циклдік, диэдрлік, тетраэдрлік, октаэдрлік немесе икосаэдрлік болуы мүмкін. Артиннің циклдік немесе диэдрлік жағдайға арналған болжамы Эрих Гекке жұмысынан оңай туындайды. Лэнглендс тетраэдрлік жағдайды дәлелдеу үшін негізді өзгертуді көтеруді қолданды, ал Джеррольд Туннелл өзінің жұмысын октаэдрлік жағдайды қамту үшін кеңейтті; Эндрю Уайлс бұл жағдайларды модульділік болжамның дәлеліне қолданды. Ричард Тейлор және басқалар (шешілмейтін) икосаэдрлік жағдай бойынша белгілі бір жетістіктерге жетті; бұл белсенді зерттеу саласы. Артиннің тақ, азайтылмайтын екі өлшемді өкілдіктер туралы болжамы проективті бейне субтоптарына қарамастан Серрдің модульділік болжамының дәлелінен туындайды. Брауэрдің индукцияланған таңбалар туралы теоремасы барлық Артин L-функциялары Гекке L-функцияларының оң және теріс интеграл күштерінің өнімдері екенін білдіреді, сондықтан олар бүкіл кешен жазықтықта мероморфты. Сондай-ақ, Артиндік болжам Лэнгленд философиясының жеткілікті күшті нәтижелерінен туындайтындығы көрсетілді, бұл GL(n) үшін автоморфты өкілдіктерге қатысты L-функциялармен байланысты. Нақтырақ айтқанда, Лэнгленд болжамдары Галуа тобының әрбір n өлшемді азайтылмайтын өкілдігіне GLn(AQ) аделик тобының автоморфты өкілдігін байланыстырады, бұл Галуа өкілдігі азайтылмайтын болса, куспидальді өкілдік болады, яғни Галуа өкілдігінің Артиндік L-функциясы автоморфты өкілдіктің автоморфты L-функциясымен бірдей. Артиндік болжам онда куспидальді автоморфты өкілдіктердің L-функциялары голоморфты екені белгілі болғандықтан тікелей туындайды. Бұл Лэнгленд жұмысының басты мотивацияларының бірі болды.
The Artin conjecture on Artin L functions states that the Artin L function of a non trivial irreducible representation ρ is analytic in the whole complex plane. This is known for one dimensional representations, the L functions being then associated to Hecke characters — and in particular for Dirichlet L functions. More generally Artin showed that the Artin conjecture is true for all representations induced from 1 dimensional representations. If the Galois group is supersolvable or more generally monomial, then all representations are of this form so the Artin conjecture holds. André Weil proved the Artin conjecture in the case of function fields. Two dimensional representations are classified by the nature of the image subgroup: it may be cyclic, dihedral, tetrahedral, octahedral, or icosahedral. The Artin conjecture for the cyclic or dihedral case follows easily from Erich Hecke's work. Langlands used the base change lifting to prove the tetrahedral case, and Jerrold Tunnell extended his work to cover the octahedral case; Andrew Wiles used these cases in his proof of the Modularity conjecture. Richard Taylor and others have made some progress on the (non solvable) icosahedral case; this is an active area of research. The Artin conjecture for odd, irreducible, two dimensional representations follows from the proof of Serre's modularity conjecture, regardless of projective image subgroup. Brauer's theorem on induced characters implies that all Artin L functions are products of positive and negative integral powers of Hecke L functions, and are therefore meromorphic in the whole complex plane. pointed out that the Artin conjecture follows from strong enough results from the Langlands philosophy, relating to the L functions associated to automorphic representations for GL(n) for all More precisely, the Langlands conjectures associate an automorphic representation of the adelic group GLn(AQ) to every n dimensional irreducible representation of the Galois group, which is a cuspidal representation if the Galois representation is irreducible, such that the Artin L function of the Galois representation is the same as the automorphic L function of the automorphic representation. The Artin conjecture then follows immediately from the known fact that the L functions of cuspidal automorphic representations are holomorphic. This was one of the major motivations for Langlands' work.