Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике функция L Артина — это тип ряда Дирихле, связанный с линейным представлением ρ группы Галуа G. Эти функции были введены в 1923 году Эмилем Артином в связи с его исследованиями теории полей классов. Их фундаментальные свойства, в частности, гипотеза Артина, сформулированная ниже, оказались труднодоказуемыми. Одной из целей предлагаемой неабелевой теории полей классов является включение комплексного аналитического характера функций L Артина в более широкую структуру, подобную той, что обеспечивается автоморфными формами и программой Лэнглендса. На данный момент лишь небольшая часть такой теории получила прочную основу.
In mathematics, an Artin L function is a type of Dirichlet series associated to a linear representation ρ of a Galois group G. These functions were introduced in 1923 by Emil Artin, in connection with his research into class field theory. Their fundamental properties, in particular the Artin conjecture described below, have turned out to be resistant to easy proof. One of the aims of proposed non abelian class field theory is to incorporate the complex analytic nature of Artin L functions into a larger framework, such as is provided by automorphic forms and the Langlands program. So far, only a small part of such a theory has been put on a firm basis.
Гипотеза Артина
Артинская гипотеза об L-функциях Артина утверждает, что L-функция Артина нетривиального неприводимого представления ρ аналитична на всей комплексной плоскости. Это известно для одномерных представлений, при этом L-функции ассоциируются с символами Геке и, в частности, с L-функциями Дирихле. В более общем виде Артин показал, что гипотеза Артина верна для всех представлений, индуцированных из одномерных представлений. Если группа Галуа является сверхразрешимой или, в более общем случае, мономиальной, то все представления имеют такую форму, и, следовательно, гипотеза Артина выполняется. Андре Вейль доказал гипотезу Артина в случае полей функций. Двумерные представления классифицируются по природе подгруппы образа: они могут быть циклическими, диэдральными, тетраэдральными, октаэдральными или икосаэдральными. Гипотеза Артина для циклического или диэдрального случая легко следует из работ Эриха Геке. Лэнгландс использовал изменение основания и подъем для доказательства тетраэдрального случая, а Джеррольд Таннелл расширил его работу, включив октаэдральный случай; Эндрю Уайлс использовал эти случаи в своем доказательстве гипотезы модулярности. Ричард Тейлор и другие добились определенного прогресса в (неразрешимом) икосаэдральном случае; это активная область исследований. Гипотеза Артина для нечетных, неприводимых, двумерных представлений следует из доказательства гипотезы модулярности Серра, независимо от подгруппы проективного образа. Теорема Брауэра об индуцированных характерах подразумевает, что все L-функции Артина являются произведениями положительных и отрицательных целых степеней L-функций Геке и, следовательно, мероморфны на всей комплексной плоскости. Было указано, что гипотеза Артина следует из достаточно сильных результатов философии Лэнгландса, касающихся L-функций, связанных с автоморфными представлениями для GL(n) для всех n. Более точно, гипотезы Лэнгландса связывают автоморфное представление аделической группы GLn(AQ) с каждым n-мерным неприводимым представлением группы Галуа, которое является куспидальным представлением, если представление Галуа неприводимо, так что L-функция Артина представления Галуа совпадает с автоморфной L-функцией автоморфного представления. Затем гипотеза Артина непосредственно следует из известного факта, что L-функции куспидальных автоморфных представлений голоморфны. Это было одной из основных мотиваций для работы Лэнгландса.
The Artin conjecture on Artin L functions states that the Artin L function of a non trivial irreducible representation ρ is analytic in the whole complex plane. This is known for one dimensional representations, the L functions being then associated to Hecke characters — and in particular for Dirichlet L functions. More generally Artin showed that the Artin conjecture is true for all representations induced from 1 dimensional representations. If the Galois group is supersolvable or more generally monomial, then all representations are of this form so the Artin conjecture holds. André Weil proved the Artin conjecture in the case of function fields. Two dimensional representations are classified by the nature of the image subgroup: it may be cyclic, dihedral, tetrahedral, octahedral, or icosahedral. The Artin conjecture for the cyclic or dihedral case follows easily from Erich Hecke's work. Langlands used the base change lifting to prove the tetrahedral case, and Jerrold Tunnell extended his work to cover the octahedral case; Andrew Wiles used these cases in his proof of the Modularity conjecture. Richard Taylor and others have made some progress on the (non solvable) icosahedral case; this is an active area of research. The Artin conjecture for odd, irreducible, two dimensional representations follows from the proof of Serre's modularity conjecture, regardless of projective image subgroup. Brauer's theorem on induced characters implies that all Artin L functions are products of positive and negative integral powers of Hecke L functions, and are therefore meromorphic in the whole complex plane. pointed out that the Artin conjecture follows from strong enough results from the Langlands philosophy, relating to the L functions associated to automorphic representations for GL(n) for all More precisely, the Langlands conjectures associate an automorphic representation of the adelic group GLn(AQ) to every n dimensional irreducible representation of the Galois group, which is a cuspidal representation if the Galois representation is irreducible, such that the Artin L function of the Galois representation is the same as the automorphic L function of the automorphic representation. The Artin conjecture then follows immediately from the known fact that the L functions of cuspidal automorphic representations are holomorphic. This was one of the major motivations for Langlands' work.