Кіріспе
Ли тобын талдаудың математикалық әдісі Ли теориясы мен өрнектеу теориясында Вильгельм Киллинг пен Эли Картан болжаған және дәлелдеген Леви ыдырауы, кез келген шекті өлшемді нақты {Нақты Ли алгебрасын 0 сипаттамалы өріс бойынша Ли алгебрасына өзгерту} Ли алгебрасы g – шешілетін идеал мен жартылай қарапайым субальгебраның жартылай тікелей көбейтіндісі болып табылады. Оның бірі – түбірі, максималды шешілетін идеал, ал екіншісі – Леви субальгебрасы деп аталатын жартылай қарапайым субальгебра. Леви ыдырауы кез келген шекті өлшемді Ли алгебрасы шешілетін Ли алгебрасы мен жартылай қарапайым Ли алгебрасының жартылай тікелей көбейтіндісі екенін көрсетеді. g-нің факторлық алгебрасы ретінде қарастырылғанда, бұл жартылай қарапайым Ли алгебрасы g-нің Леви факторы деп те аталады. Бір жағынан, ыдырау шекті өлшемді Ли алгебралары мен Ли топтарына қатысты мәселелерді осы екі арнайы класс – шешілетін және жартылай қарапайым – бойынша Ли алгебраларына қатысты жеке мәселелерге дейін төмендетуге мүмкіндік береді. Сонымен қатар, Мальцев (1942) кез келген екі Леви субальгебрасы (ішкі) автоморфизм арқылы конъюгацияланатынын көрсетті, мұнда z нилрадикалда жатады (Леви-Мальцев теоремасы). Осыған ұқсас нәтиже ассоциативтік алгебралар үшін де жарамды және ол Веддерберннің негізгі теоремасы деп аталады.
In Lie theory and representation theory, the Levi decomposition, conjectured by Wilhelm Killing and Élie Cartan and proved by , states that any finite dimensional real{Change real Lie algebra to a Lie algebra over a field of characteristic 0} Lie algebra g is the semidirect product of a solvable ideal and a semisimple subalgebra. One is its radical, a maximal solvable ideal, and the other is a semisimple subalgebra, called a Levi subalgebra. The Levi decomposition implies that any finite dimensional Lie algebra is a semidirect product of a solvable Lie algebra and a semisimple Lie algebra. When viewed as a factor algebra of g, this semisimple Lie algebra is also called the Levi factor of g. To a certain extent, the decomposition can be used to reduce problems about finite dimensional Lie algebras and Lie groups to separate problems about Lie algebras in these two special classes, solvable and semisimple. Moreover, Malcev (1942) showed that any two Levi subalgebras are conjugate by an (inner) automorphism of the form
where z is in the nilradical (Levi–Malcev theorem). An analogous result is valid for associative algebras and is called the Wedderburn principal theorem.
Нәтижелерді кеңейту
Өкілдік теориясында, редуктивті топтың параболалық кіші топтарының Леви ыдырауы, параболалық түрде индукцияланған бейнелеулер деп аталатын кең отбасын құруға қажет. Лэнгленд ыдырауы – бұл осы контексте қолданылатын параболалық кіші топтар үшін Леви ыдырауының сәл жетілдірілген түрі. Ұқсас мәлімдемелер жай байланысқан Ли топтары үшін де, және Джордж Мостоу көрсеткендей, алгебралық Ли алгебралары мен жай байланысқан алгебралық топтар үшін де нөлдік сипаттамалы өріс бойынша орындалады. Көптеген шексіз өлшемді Ли алгебралары үшін Леви ыдырауының аналогы жоқ; мысалы, аффинді Ли алгебраларындағы радикал олардың центрінен тұрады, бірақ оны центрдің жартылай тікелей көбейтіндісі және басқа Ли алгебрасы түрінде жазу мүмкін емес. Леви ыдырауы оң сипаттамалы өрістердегі шекті өлшемді алгебралар үшін де қолданылмайды.