Введение
Математический метод анализа групп Ли
In Lie theory and representation theory, the Levi decomposition, conjectured by Wilhelm Killing and Élie Cartan and proved by , states that any finite dimensional real{Change real Lie algebra to a Lie algebra over a field of characteristic 0} Lie algebra g is the semidirect product of a solvable ideal and a semisimple subalgebra. One is its radical, a maximal solvable ideal, and the other is a semisimple subalgebra, called a Levi subalgebra. The Levi decomposition implies that any finite dimensional Lie algebra is a semidirect product of a solvable Lie algebra and a semisimple Lie algebra. When viewed as a factor algebra of g, this semisimple Lie algebra is also called the Levi factor of g. To a certain extent, the decomposition can be used to reduce problems about finite dimensional Lie algebras and Lie groups to separate problems about Lie algebras in these two special classes, solvable and semisimple. Moreover, Malcev (1942) showed that any two Levi subalgebras are conjugate by an (inner) automorphism of the form
where z is in the nilradical (Levi–Malcev theorem). An analogous result is valid for associative algebras and is called the Wedderburn principal theorem.
В теории Ли и теории представлений декомпозиция Леви, предложенная Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном и доказанная, утверждает, что любая конечномерная алгебра Ли над полем характеристики 0 (ранее: реальная алгебра Ли) g является полупрямым произведением разрешимого идеала и полупростой субальгебры. Один из них – это радикал, максимальный разрешимый идеал, а другой – полупростая субальгебра, называемая субальгеброй Леви. Декомпозиция Леви подразумевает, что любая конечномерная алгебра Ли является полупрямым произведением разрешимой алгебры Ли и полупростой алгебры Ли. Если рассматривать её как фактор-алгебру g, то эта полупростая алгебра Ли также называется фактором Леви алгебры g. В определенной степени, данное разложение позволяет свести задачи, связанные с конечномерными алгебрами Ли и группами Ли, к отдельным задачам для алгебр Ли в этих двух специальных классах: разрешимых и полупростых. Более того, Мальцев (1942) показал, что любые две субальгебры Леви сопряжены (внутренним) автоморфизмом вида, где z принадлежит нилрадикалу (теорема Леви-Мальцева). Аналогичный результат справедлив для ассоциативных алгебр и называется основной теоремой Уэддерберна.
In Lie theory and representation theory, the Levi decomposition, conjectured by Wilhelm Killing and Élie Cartan and proved by , states that any finite dimensional real{Change real Lie algebra to a Lie algebra over a field of characteristic 0} Lie algebra g is the semidirect product of a solvable ideal and a semisimple subalgebra. One is its radical, a maximal solvable ideal, and the other is a semisimple subalgebra, called a Levi subalgebra. The Levi decomposition implies that any finite dimensional Lie algebra is a semidirect product of a solvable Lie algebra and a semisimple Lie algebra. When viewed as a factor algebra of g, this semisimple Lie algebra is also called the Levi factor of g. To a certain extent, the decomposition can be used to reduce problems about finite dimensional Lie algebras and Lie groups to separate problems about Lie algebras in these two special classes, solvable and semisimple. Moreover, Malcev (1942) showed that any two Levi subalgebras are conjugate by an (inner) automorphism of the form
where z is in the nilradical (Levi–Malcev theorem). An analogous result is valid for associative algebras and is called the Wedderburn principal theorem.
Расширение результатов
В теории представлений разложение Леви параболических подгрупп редуктивной группы требуется для построения большого семейства так называемых параболически индуцированных представлений. Разложение Лэнглендса — это небольшое уточнение разложения Леви для параболических подгрупп, используемое в этом контексте. Аналогичные утверждения справедливы для простосвязных групп Ли, и, как показал Джордж Мостоу, для алгебраических алгебр Ли и простосвязных алгебраических групп над полем характеристики ноль. Для большинства бесконечномерных алгебр Ли аналога разложения Леви не существует; например, аффинные алгебры Ли имеют радикал, состоящий из их центра, но не могут быть представлены в виде полупрямого произведения центра и другой алгебры Ли. Разложение Леви также неприменимо к конечномерным алгебрам над полями положительной характеристики.