Кіріспе
Гиперболалық геометриядағы теорема. Математикада Мостовтың қатаңдық теоремасы, немесе күшті қатаңдық теоремасы, немесе Мостов–Прасадтың қатаңдық теоремасы, негізінен, екіден жоғары өлшемді толық, шекті көлемді гиперболалық көптүрлінің геометриясы негізгі топпен анықталады және демек, бірегей болады. Теорема жабық көптүрліліктер үшін дәлелденді, ал шекті көлемді көптүрліліктерге 3 өлшемде кеңейтілді, және барлық өлшемдерде, кемінде 3 өлшемде дәлелдемелер жасалды. Громов нормасын қолдана отырып, баламалы дәлел келтірді. ең қарапайым дәлелді ұсынды. Теорема (толық) гиперболалық құрылымдардың шекті көлемді гиперболалық көптүрлідегі деформация кеңістігі бір нүкте екенін көрсетсе, гені болған гиперболалық бет үшін тұрақты қисықтығы бар барлық метрикаларды (диффеоморфизмге дейін) параметрлейтін өлшемді модульдік кеңістік бар, бұл Тейхмюллер теориясы үшін маңызды факт. Сонымен қатар, үш өлшемдегі шексіз көлемді көптүрліліктердегі гиперболалық құрылымдардың деформация кеңістіктерінің бай теориясы бар.
In mathematics, Mostow's rigidity theorem, or strong rigidity theorem, or Mostow–Prasad rigidity theorem, essentially states that the geometry of a complete, finite volume hyperbolic manifold of dimension greater than two is determined by the fundamental group and hence unique. The theorem was proven for closed manifolds by and extended to finite volume manifolds by in 3 dimensions, and by in all dimensions at least 3. gave an alternate proof using the Gromov norm. gave the simplest available proof. While the theorem shows that the deformation space of (complete) hyperbolic structures on a finite volume hyperbolic manifold (for ) is a point, for a hyperbolic surface of genus there is a moduli space of dimension that parameterizes all metrics of constant curvature (up to diffeomorphism), a fact essential for Teichmüller theory. There is also a rich theory of deformation spaces of hyperbolic structures on infinite volume manifolds in three dimensions.
Теорема
Теорема геометриялық тұжырымдамада (шекті көлемді, толық көптүрліліктерге қатысты) және алгебралық тұжырымдамада (Ли топтарындағы торларға қатысты) беріле алады.
Геометриялық пішін
Бұл өлшемді гиперболалық кеңістік болсын. Толық гиперболалық көптүрлілік – еркін және дұрыс үзіліссіз әрекет ететін изометриялар тобының бөлігі ретінде анықталуы мүмкін (бұл оны қисықтық қимасы 1-ге тең толық Риманн көптүрлілігі ретінде анықтаумен эквивалентті). Егер көлем формасының интегралы шекті болса, онда ол шекті көлемді болып табылады (мысалы, егер ол компактты болса). Мостовтың қатаңдық теоремасы былай тұжырымдалады:
Егер және – өлшемді толық шекті көлемді гиперболалық көптүрліліктер болса, және егер изоморфизм болса, онда ол -тен -ға бірегей изометрия арқылы туындайды. Мұнда – көптүрліліктің негізгі тобы. Егер гиперболалық көптүрлілік топтың бөлігі ретінде алынса, онда -тен -ға кез келген гомотопиялық эквиваленттілік бірегей изометрияға гомотопиялық түрлендіріледі. Дәлел шындығында, егер -тің өлшемі -тен үлкен болса, олардың арасында гомотопиялық эквиваленттілік болуы мүмкін емес екенін көрсетеді.
Here is the fundamental group of a manifold If is an hyperbolic manifold obtained as the quotient of by a group then
An equivalent statement is that any homotopy equivalence from to can be homotoped to a unique isometry. The proof actually shows that if has greater dimension than then there can be no homotopy equivalence between them.
Алгебралық пішін
Гиперболалық кеңістіктің изометриялар тобын Ли тобымен (белгілі бір қолтаңбасы бар квадратикалық форманың проективті ортогоналды тобы) сәйкестендіруге болады. Одан кейін келесі тұжырым жоғарыдағы тұжырымға эквивалентті. Егер және және – тобындағы екі тор болса және егер олардың арасында топ изоморфизмі болса, онда және топтарында біріне-бірі серік болады. Яғни, мүшесі бар элемент табылады, онда .
Жалпы алғанда
Мостовтың қаттылығы (оның геометриялық тұжырымында) жалпы алғанда, кемінде үш өлшемді, толық, шекті көлемді, оң қисықтығы жоқ (Евклидтік факторлары жоқ) жергілікті симметриялық кеңістіктердің негізгі топтары үшін, немесе оның алгебралық тұжырымында, қарапайым Ли топтарындағы барлық торлар үшін, жергілікті изоморфты емес үшін сақталады.
Қолданбалар
Мостовтың қатаңдық теоремасынан, шекті көлемді гиперболалық n-көптүрлі M (n>2) изометриялар тобы шекті және Мостовтың қатаңдығына изоморфты екендігі шығады. Тёрстон да Мостовтың қатаңдығын үшбұрыштауланған жазық графтардың шеңбер қаптамасының бейнелеуінің бірегейлігін дәлелдеу үшін қолданды. Геометриялық топтар теориясында Мостовтың қатаңдығының маңызды салдары – квази-изометриялық, бірақ бір-біріне сәйкес келмейтін гиперболалық топтардың болуы.
Mostow rigidity was also used by Thurston to prove the uniqueness of circle packing representations of triangulated planar graphs. A consequence of Mostow rigidity of interest in geometric group theory is that there exist hyperbolic groups which are quasi isometric but not commensurable to each other.