Введение
Теорема в гиперболической геометрии
В математике теорема о жесткости Мостова, или теорема о сильной жесткости, или теорема о жесткости Мостова — Прасада, по сути, утверждает, что геометрия полного гиперболического многообразия конечного объема размерности больше двух определяется его фундаментальной группой и, следовательно, единственна. Теорема была доказана для замкнутых многообразий и расширена на многообразия конечного объема в 3 измерениях, а затем во всех измерениях, больших или равных 3. предложил альтернативное доказательство с использованием нормы Громова. предложил самое простое доступное доказательство. В то время как теорема показывает, что пространство деформаций (полных) гиперболических структур на гиперболическом многообразии конечного объема (для ) является точкой, для гиперболической поверхности рода существует модульное пространство размерности , которое параметризует все метрики постоянной кривизны (с точностью до диффеоморфизма), что является существенным фактом для теории Тейхмюллера. Также существует богатая теория пространств деформаций гиперболических структур на многообразиях бесконечного объема в трех измерениях.
In mathematics, Mostow's rigidity theorem, or strong rigidity theorem, or Mostow–Prasad rigidity theorem, essentially states that the geometry of a complete, finite volume hyperbolic manifold of dimension greater than two is determined by the fundamental group and hence unique. The theorem was proven for closed manifolds by and extended to finite volume manifolds by in 3 dimensions, and by in all dimensions at least 3. gave an alternate proof using the Gromov norm. gave the simplest available proof. While the theorem shows that the deformation space of (complete) hyperbolic structures on a finite volume hyperbolic manifold (for ) is a point, for a hyperbolic surface of genus there is a moduli space of dimension that parameterizes all metrics of constant curvature (up to diffeomorphism), a fact essential for Teichmüller theory. There is also a rich theory of deformation spaces of hyperbolic structures on infinite volume manifolds in three dimensions.
Теорема
Теорема может быть сформулирована геометрически (для многообразий конечного объема и полных) и алгебраически (для решеток в группах Ли).
Геометрическая форма
Пусть $\mathbb{H}^n$ – $n$-мерное гиперболическое пространство. Полное гиперболическое многообразие можно определить как факторпространство $\mathbb{H}^n$ по группе изометрий, действующей свободно и правильно разрывно (эквивалентно, как полное риманово многообразие с сечением кривизны −1). Оно имеет конечный объем, если интеграл по объему конечен (например, если оно компактно). Теорему Мостоу о жесткости можно сформулировать следующим образом:
Пусть $M$ и $N$ – полные гиперболические многообразия конечного объема размерности $n$. Если существует изоморфизм $\pi_1(M) \to \pi_1(N)$, то он индуцируется единственной изометрией $M \to N$.
Здесь $\pi_1(M)$ – фундаментальная группа многообразия $M$. Если гиперболическое многообразие $M$ получено как факторпространство $\mathbb{H}^n$ по группе $\Gamma$, то $\pi_1(M) \cong \Gamma$.
Эквивалентное утверждение состоит в том, что любая эквивалентность гомотопии между $M$ и $N$ может быть гомотопирована к единственной изометрии. Доказательство показывает, что если размерность $M$ больше размерности $N$, то между ними не может существовать эквивалентности гомотопии.
Here is the fundamental group of a manifold If is an hyperbolic manifold obtained as the quotient of by a group then
An equivalent statement is that any homotopy equivalence from to can be homotoped to a unique isometry. The proof actually shows that if has greater dimension than then there can be no homotopy equivalence between them.
Алгебраическая форма
Группу изометрий гиперболического пространства можно отождествить с группой Ли (проективной ортогональной группой квадратичной формы сигнатуры (p,q)). Тогда следующее утверждение эквивалентно предыдущему. Пусть Γ₁ и Γ₂ будут двумя решетками в G и предположим, что существует групповой изоморфизм Γ₁ ≅ Γ₂. Тогда Γ₁ и Γ₂ сопряжены в G. То есть, существует элемент g ∈ G такой, что gΓ₁g⁻¹ = Γ₂.
В более общем смысле
Мостовская жесткость выполняется (в своей геометрической формулировке) в более общем виде для фундаментальных групп всех полных, конечнообъемных, не положительно искривленных (без евклидовых факторов) локально симметричных пространств размерности не менее трех, или в своей алгебраической формулировке для всех решеток в простых группах Ли, не локально изоморфных .
Приложения
Из теоремы Мостова о жесткости следует, что группа изометрий гиперболического n-многообразия конечного объема M (при n>2) конечна и изоморфна… Жесткость Мостова также была использована Торстоном для доказательства единственности представлений упаковки окружностей для триангулированных планарных графов. Следствием жесткости Мостова, представляющим интерес в геометрической теории групп, является существование гиперболических групп, которые квазиизометричны, но не соизмеримы друг другу.
Mostow rigidity was also used by Thurston to prove the uniqueness of circle packing representations of triangulated planar graphs. A consequence of Mostow rigidity of interest in geometric group theory is that there exist hyperbolic groups which are quasi isometric but not commensurable to each other.