Кіріспе
Математикада Лефшец қарындашы — Соломон Лефшец қарастырған алгебралық геометриядағы құрылым, алгебралық сан алуандық V-тің алгебралық топологиясын талдауға пайдаланылады.
Сипаттама
Қарындаш – V-дегі бөлгіштердің сызықтық жүйесінің ерекше түрі, атап айтқанда проективті түзумен параметрленген бір параметрлі отбасы. Бұл, күрделі алгебралық кеңістік V жағдайында Лефшец қарындашы Риман сферасы бойынша фибрацияға ұқсас нәрсе дегенді білдіреді; бірақ сингулярлыққа қатысты екі шартпен. Бірінші жағдай, егер V проективті кеңістік ретінде берілген және V-дегі бөлгіштер гипержазықтық қималары болса туындайды. Егер H және H′ гипержазықтықтары қарындаштың құрамында болса – яғни, H, L = 0 және H′, L′ = 0 сызықтық формалар L және L′ арқылы берілсе, ал жалпы гипержазықтық қимасы V-мен қиылысады. Содан кейін H пен H′ қиылысы J кодименсиясы екіге тең.
Then the intersection J of H with H′ has codimension two. There is a rational mapping
which is in fact well defined only outside the points on the intersection of J with V. To make a well defined mapping, some blowing up must be applied to V.
The second point is that the fibers may themselves 'degenerate' and acquire singular points (where Bertini's lemma applies, the general hyperplane section will be smooth). A Lefschetz pencil restricts the nature of the acquired singularities, so that the topology may be analysed by the vanishing cycle method. The fibres with singularities are required to have a unique quadratic singularity, only. It has been shown that Lefschetz pencils exist in characteristic zero. They apply in ways similar to, but more complicated than, Morse functions on smooth manifolds. It has also been shown that Lefschetz pencils exist in characteristic p for the étale topology. Simon Donaldson has found a role for Lefschetz pencils in symplectic topology, leading to more recent research interest in them.
Және ол шын мәнінде J мен V қиылысқан нүктелерден тыс жерде ғана анықталған рационалды бейнелеу бар. Дұрыс анықталған бейнелеу жасау үшін V-ге кейбір жарылыстар қолданылуы керек.
Then the intersection J of H with H′ has codimension two. There is a rational mapping
which is in fact well defined only outside the points on the intersection of J with V. To make a well defined mapping, some blowing up must be applied to V.
The second point is that the fibers may themselves 'degenerate' and acquire singular points (where Bertini's lemma applies, the general hyperplane section will be smooth). A Lefschetz pencil restricts the nature of the acquired singularities, so that the topology may be analysed by the vanishing cycle method. The fibres with singularities are required to have a unique quadratic singularity, only. It has been shown that Lefschetz pencils exist in characteristic zero. They apply in ways similar to, but more complicated than, Morse functions on smooth manifolds. It has also been shown that Lefschetz pencils exist in characteristic p for the étale topology. Simon Donaldson has found a role for Lefschetz pencils in symplectic topology, leading to more recent research interest in them.
Екінші жағдай – талшықтардың өзі "дегенерацияға" ұшырап, жеке нүктелерге ие болуы мүмкін (Бертини леммасы қолданылатын жерде жалпы гипержазықтық қимасы тегіс болады). Лефшец қарындашы алынған сингулярлықтардың сипатын шектейді, сондықтан топология жоғалу циклы әдісімен талдануы мүмкін. Сингулярлық талшықтарда тек бірегей квадраттық сингулярлық болуы керек. Лефшец қарындаштары нөлдік сипаттамада бар екені көрсетілді. Олар тегіс көптүрліліктердегі Морзе функцияларына ұқсас, бірақ одан да күрделі жолдармен қолданылады. Сондай-ақ, Лефшец қарындаштары эталь топологиясындағы p сипаттамасында бар екені көрсетілді. Саймон Дональдсон симплектикалық топологияда Лефшец қарындаштарының рөлін тапты, бұл оларға жақында зерттеулердің артуына әкелді.
Then the intersection J of H with H′ has codimension two. There is a rational mapping
which is in fact well defined only outside the points on the intersection of J with V. To make a well defined mapping, some blowing up must be applied to V.
The second point is that the fibers may themselves 'degenerate' and acquire singular points (where Bertini's lemma applies, the general hyperplane section will be smooth). A Lefschetz pencil restricts the nature of the acquired singularities, so that the topology may be analysed by the vanishing cycle method. The fibres with singularities are required to have a unique quadratic singularity, only. It has been shown that Lefschetz pencils exist in characteristic zero. They apply in ways similar to, but more complicated than, Morse functions on smooth manifolds. It has also been shown that Lefschetz pencils exist in characteristic p for the étale topology. Simon Donaldson has found a role for Lefschetz pencils in symplectic topology, leading to more recent research interest in them.