Введение

В математике, карандаш Лефшеца — это конструкция в алгебраической геометрии, предложенная Соломоном Лефшецем, используемая для анализа алгебраической топологии алгебраического многообразия V.

Описание

Карандаш — это особый вид линейной системы делителей на V, а именно, семейство с одним параметром, параметризуемое проективной прямой. Это означает, что в случае комплексного алгебраического многообразия V, карандаш Лефшеца — это нечто вроде расслоения над сферой Римана, но с двумя оговорками относительно особенностей. Первая возникает, если мы предположим, что V задано как проективное многообразие, а делители на V являются сечениями гиперплоскостей. Предположим, что даны гиперплоскости H и H′, определяющие карандаш, — другими словами, H задается уравнением L = 0, а H′ уравнением L′ = 0 для линейных форм L и L′, а общее сечение гиперплоскости — это V, пересеченное с… Тогда пересечение J гиперплоскостей H и H′ имеет коразмерность два. Существует рациональное отображение, которое на самом деле определено лишь вне точек на пересечении J с V. Чтобы получить корректно определенное отображение, необходимо применить некоторое разрешение особенностей к V. Второй момент заключается в том, что волокна могут сами «вырождаться» и приобретать особые точки (где применима лемма Бертини, общее сечение гиперплоскости будет гладким). Карандаш Лефшеца ограничивает характер приобретаемых особенностей, так что топологию можно анализировать методом исчезающего цикла. Волокна с особенностями должны иметь только одну квадратичную особенность. Показано, что карандаши Лефшеца существуют в характеристике ноль. Они применяются аналогично, но более сложно, чем функции Морса на гладких многообразиях. Также показано, что карандаши Лефшеца существуют в характеристике p для этальной топологии. Саймон Дональдсон обнаружил роль карандашей Лефшеца в симплектической топологии, что привело к более недавнему исследовательскому интересу к ним.