Кіріспе
Математикада күрделі өлшем әдетте күрделі көптүрлілік немесе күрделі алгебралық түрліліктің өлшемін білдіреді. Бұл – нүктелердің жергілікті аймақтары (немесе түрліліктің ерекше емес нүктелері) үшін кейбір үшін формасындағы Картезиялық көбейту арқылы үлгіленген кеңістіктер, ал күрделі өлшем осы көбейтудегі көрсеткіш болып табылады. Себебі, өз кезегінде арқылы үлгіленуі мүмкін, сондықтан күрделі өлшемді кеңістік нақты өлшемге ие болады. Яғни, күрделі өлшемді тегіс көптүрлілік нақты өлшемге ие, ал күрделі алгебралық түрліліктің күрделі өлшемі, ерекше нүктелерден алыс, сондай-ақ нақты өлшемді тегіс көптүрлілік болады. Дегенмен, нақты алгебралық түрлілік үшін (яғни нақты коэффициенттері бар теңдеулермен анықталған түрлілік), оның өлшемі көбінесе оның күрделі өлшемін білдіреді, ал оның нақты өлшемі оның нақты нүктелерінің жиынтығындағы көптүрліліктердің өлшемдерінің ең үлкенін білдіреді. Нақты өлшем өлшемнен артық емес және түрлілік толық болса және оның нақты нүктелері ерекше емес болса, оған тең болады. Мысалы, теңдеу (күрделі) өлшемді 2 (бет) түрлілігін анықтайды, бірақ нақты өлшемді 0 – ол тек бір нақты нүктеге (0, 0, 0) ие, ол ерекше. Кодименсияға да осы қарастырулар қолданылады. Мысалы, n өлшемді күрделі проекциялық кеңістіктегі тегіс күрделі гипербет 2(n − 1) өлшемді көптүрлілік болады. Күрделі гипержазық күрделі проекциялық кеңістікті екі компонентке бөле алмайды, өйткені оның нақты кодименсиясы 2-ге тең.
However, for a real algebraic variety (that is a variety defined by equations with real coefficients), its dimension refers commonly to its complex dimension, and its real dimension refers to the maximum of the dimensions of the manifolds contained in the set of its real points. The real dimension is not greater than the dimension, and equals it if the variety is irreducible and has real points that are nonsingular. For example, the equation defines a variety of (complex) dimension 2 (a surface), but of real dimension 0 — it has only one real point, (0, 0, 0), which is singular. The same considerations apply to codimension. For example a smooth complex hypersurface in complex projective space of dimension n will be a manifold of dimension 2(n − 1). A complex hyperplane does not separate a complex projective space into two components, because it has real codimension 2.