Введение

В математике сложное измерение обычно относится к измерению комплексного многообразия или комплексного алгебраического многообразия. Это пространства, в которых локальные окрестности точек (или несингулярных точек в случае многообразия) моделируются декартовым произведением вида для некоторых , и комплексное измерение является показателем в этом произведении. Поскольку в свою очередь может быть смоделировано , пространство с комплексным измерением будет иметь вещественное измерение . То есть, гладкое многообразие комплексного измерения имеет вещественное измерение ; а комплексное алгебраическое многообразие комплексного измерения , вдали от любой сингулярной точки, также будет гладким многообразием вещественного измерения .

Однако, для вещественного алгебраического многообразия (то есть многообразия, определенного уравнениями с вещественными коэффициентами), его измерение обычно относится к его комплексному измерению, а его вещественное измерение относится к максимуму измерений многообразий, содержащихся в множестве его вещественных точек. Вещественное измерение не превосходит измерения и равно ему, если многообразие неприводимо и имеет вещественные точки, которые не являются сингулярными. Например, уравнение определяет многообразие (комплексного) измерения 2 (поверхность), но вещественного измерения 0 — оно имеет только одну вещественную точку (0, 0, 0), которая является сингулярной. Те же соображения применимы к коразмерности. Например, гладкая комплексная гиперповерхность в комплексном проективном пространстве измерения n будет многообразием измерения 2(n − 1). Комплексная гиперплоскость не разделяет комплексное проективное пространство на две компоненты, поскольку она имеет вещественную коразмерность 2.