Кіріспе

Динамикалық жүйелердің қалып-құлықтары туралы теорема. Математикада Пуанкаре–Бендикссон теоремасы – жазықтықта, цилиндрде немесе екі шар бетіндегі үздіксіз динамикалық жүйелер орбиталарының ұзақ мерзімді қалып-құлықтары туралы тұжырым.

Талқылау

Теореманың әлсіз нұсқасы бастапқыда [автор аты] ұсынған, бірақ ол толыққанды дәлелдеме бермеген, ал кейіннен [автор аты] оны толықтырған.

Жазықтықтан (немесе цилиндрден немесе екі шардан) өзге екі өлшемді көптүрліліктерде, сондай-ақ жоғары өлшемді көптүрліліктерде анықталған үздіксіз динамикалық жүйелер, Поанкаре–Бендикссон теоремасы бойынша қарастырылатын үш мүмкін жағдайдан тыс ω-шекті жиынтықтарды көрсетуі мүмкін. Мысалы, торда мерзімді емес, қайталамалы орбита болуы мүмкін, ал үш өлшемді жүйелерде ерекше тартымдылықтар пайда болуы мүмкін. Дегенмен, Артур Дж. Шварцтың жалпыламасына сүйене отырып, кез келген екі өлшемді тығыз және байланысты көптүрліліктегі үздіксіз динамикалық жүйелердің ең кіші жиынтықтарын жіктеуге болады.

Қолданбалар

Бір маңызды тұжырым – екі өлшемді үздіксіз динамикалық жүйеде ерекше тартымдылық пайда бола алмайды. Егер мұндай жүйеде C деген ерекше тартымдылық болса, онда ол фазалық кеңістіктің жабық және шектелген ішкі жиынына сыйып қоюы мүмкін. Бұл ішкі жиынды жеткілікті кішкентай етіп жасау арқылы, кез келген жақын орналасқан тұрақты нүктелерді жоюға болады. Бірақ, Понкаре-Бендикссон теоремасы C ерекше тартымды емес екенін көрсетеді – ол немесе шекті цикл, немесе шекті циклға жуықсап келеді. Маңыздысы, Понкаре-Бендикссон теоремасы дискретті динамикалық жүйелерге қолданылмайды, онда хаотикалық мінез-құлық екі немесе тіпті бір өлшемді жүйелерде де пайда болуы мүмкін.