Введение
Теорема о поведении динамических систем
В математике теорема Пуанкаре — Бендиксона является утверждением о долгосрочном поведении траекторий непрерывных динамических систем на плоскости, цилиндре или двухсферной поверхности.
In mathematics, the Poincaré–Bendixson theorem is a statement about the long term behaviour of orbits of continuous dynamical systems on the plane, cylinder, or two sphere.
Обсуждение
Более слабая версия теоремы была первоначально предложена , хотя ему не удалось получить полного доказательства, которое позже было дано .
Непрерывные динамические системы, определенные на двухмерных многообразиях, отличных от плоскости (или цилиндра или двухсферы), а также на многообразиях более высокой размерности, могут демонстрировать ω-предельные множества, не подпадающие ни под один из трех возможных случаев, предусмотренных теоремой Пуанкаре — Бендиксона. Например, на торе возможна рекуррентная, но непериодическая орбита, а трехмерные системы могут иметь странные аттракторы. Тем не менее, благодаря обобщению, предложенному Артуром Дж. Шварцем, возможно классифицировать минимальные множества непрерывных динамических систем на любом двумерном компактном и связном многообразии.
Приложения
Одно из важных следствий заключается в том, что двумерная непрерывная динамическая система не может породить странный аттрактор. Если бы странный аттрактор C существовал в такой системе, то его можно было бы заключить в замкнутое и ограниченное подмножество фазового пространства. Уменьшив размер этого подмножества, можно было бы исключить любые близлежащие стационарные точки. Однако, тогда теорема Пуанкаре — Бендиксона утверждает, что C на самом деле не является странным аттрактором — это либо предельный цикл, либо он стремится к предельному циклу. Важно отметить, что теорема Пуанкаре — Бендиксона неприменима к дискретным динамическим системам, в которых хаотическое поведение может возникать в двухмерных и даже одномерных системах.