Арнайы салыстырмалылықтағы Эренфест парадоксы

Кіріспе

Арнайы салыстырмалылық теориясындағы парадокс

Эренфест парадоксы – салыстырмалылық теориясындағы «қатаң» дискінің айналуына қатысты мәселе. Пауль Эренфесттің 1909 жылғы бастапқы тұжырымы, ерекше салыстырмалылық теориясындағы туылған қатаңдық тұжырымдамасымен байланысты, симметрия осінен айналатын идеалды қатаң цилиндрді қарастырады. Лабораториялық жүйеде көрінетін R радиусы әрқашан оның қозғалысына перпендикуляр болып табылады, сондықтан ол тоқтаған кездегі R0 мәніне тең болуы керек. Дегенмен, шеңбер (2R) Лоренц факторы γ арқылы қысқартылып, тыныш күйдегіден кішірек мәнге ие болуы тиіс. Бұл R = R0 және R < R0 деген қайшылыққа алып келеді. Альберт Эйнштейн парадоксқа одан әрі тереңдеме берді, периферлік бойымен орналасқан және онымен бірге қозғалатын өлшеу таяқшалары жиырылып көрінетінін көрсетті, сондықтан шеңберге көбірек таяқшалар сыяды, осылайша олардың ұзындығы 2R-ден асады. Бұл айналып тұрған бақылаушылар үшін геометрия Евклидтік емес екенін көрсетеді және Эйнштейннің жалпы салыстырмалылық теориясын дамытуы үшін маңызды болды. Нақты материалдан жасалған және осы материалдың дыбыс жылдамдығына жақын көлденең жылдамдықпен айналатын кез келген қатаң дене центробектік күш салдарынан жарылу шегінен асып түсуі керек, себебі центробектік қысым материалдың серпімділік модулінен жоғары болмайды. Мұндағы дыбыс жылдамдығы – c, тығыздық – ρ және серпімділік модулі – μ. Сондықтан, релятивистік жылдамдықтарды қарастырғанда, бұл тек ой эксперименті болып табылады. Нейтрондық дегенерацияланған зат жарық жылдамдығына жақын жылдамдықтарға мүмкіндік береді, себебі нейтрон жұлдызының тербелісінің жылдамдығы релятивистік болып келеді (бірақ бұл денелерді қатаң деп толық айтуға болмайды).

Парадокс мәні

Радиусы R болатын, тұрақты бұрыштық жылдамдықпен айналатын дискіді көзге елестетіңіз. Ескерілетін координаттық жүйе дискінің ортасына бекітілген. Онда дискінің шеңберіндегі кез келген нүктенің салыстырмалы жылдамдығы болады. Сондықтан шеңбер Лоренц қысқаруына фактормен ұшырайды. Алайда, радиус қозғалыс бағытына перпендикуляр болғандықтан, ол қысқаруға ұшырамайды.

Бұл парадокс, өйткені Евклид геометриясына сәйкес, ол дәл тең болуы керек.

Эренфесттің дәлелі

Эренфест айналатын идеалды қатаң цилиндрді қарастырды. Цилиндр кеңеймейтіні немесе жиырылмайтыны болжамдалса, оның радиусы өзгермейді. Бірақ, шеңбер бойымен жатқан өлшеу таяқшалары, тыныш күйдегіден әдеттегі γ факторымен кішірек мәнге дейін Лоренц қысқаруына ұшырауы керек. Бұл Лоренц қысқаруы салдарынан қатаң өлшеу таяқшаларының бір-бірінен бөлінуіне әкелетін парадоксқа алып келеді; Эренфест байқаған қарама-қайшылық айналған Борнның қатаң дискісінің сынуына себеп болуы мүмкін екенін көрсетеді. Осылайша Эренфест, кері дәлелдеу арқылы Борн қатаңдығының ерекше салыстырмалылық теориясымен жалпы түрде үйлесімсіз екенін дәлелдеді. Ерекше салыстырмалылық теориясына сәйкес, объект Борн қатаңдығын сақтай отырып, айналмастан айналуға бастала алмайды, бірақ тұрақты, нөлден өзгеше бұрыштық жылдамдыққа жеткеннен кейін, ол ерекше салыстырмалылықты бұзбай Борн қатаңдығын сақтайды, содан кейін (Айнштейн кейін көрсеткендей) диск үстінде отырған бақылаушы шеңберін өлшейді:

Эйнштейн және жалпы салыстырмалылық теориясы

Айналмалы диск және оның қатаңдықпен байланысы Альберт Эйнштейн үшін жалпы салыстырмалылықты дамытуда маңызды ой-эксперимент болды. Ол 1912, 1916, 1917, 1922 жылдары бірнеше жарияланымдарда осыған сілтеме жасап, диск геометриясы бірге айналатын бақылаушы үшін Евклидтік емес болып келетінін түйіндеді. Эйнштейн (1922) былай жазды: 66-бет: K' жазықтығының x'y' координаталарындағы бастап нүктесінен сызылған шеңберді және осы шеңбердің диаметрін көзге елестетіңіз. Сонымен қатар, бір-біріне тең, көптеген қатаң денені берілген деп есептейік. Бұл денелерді K'-ға қатысты тынышталып, шеңбердің периферісі мен диаметрі бойымен қатарластырып орналастырамыз. Егер U периферідегі дененің саны болса, ал D диаметрдегі дененің саны болса, онда егер K' K-ға қатысты айналмаса, онда мынадай болады, бірақ егер K' айналса, басқа нәтиже аламыз. K уақытының белгілі бір мезеті t-де барлық дененің ұштарын анықтағанбыз дейік. K-ға қатысты периферідегі барлық денелер Лоренц қысқаруын бастан кешіреді, бірақ диаметрдегі денелер бұл қысқаруды бастан кешірмейді (олардың ұзындығы бойынша!). Осыдан, K' бойынша қатаң денелердің конфигурация заңдары Евклид геометриясына сәйкес келетін қатаң денелердің конфигурация заңдарымен сәйкес келмейді деген қорытынды шығады. Егер екі ұқсас сағатты (K'пен бірге айналатын) біреуін шеңбердің периферісіне, екіншісін шеңбердің ортасына орналастырсақ, онда K-дан қарағанда периферідегі сағат ортадағы сағаттан баяу жүреді. Егер біз уақытты K' бойынша толыққанды табиғи емес жолмен, яғни K' бойынша заңдар уақытқа тікелей тәуелді деп анықтасақ, K' бойынша қарағанда да дәл осылай болады. Сондықтан кеңістік пен уақытты K' бойынша инертті жүйелерге қатысты салыстырмалылықтың арнайы теориясында анықталғандай анықтауға болмайды. Бірақ, эквиваленттік принципіне сәйкес, K' де қозғалмайтын жүйе ретінде қарастырылуы керек, оған қатысты гравитациялық өріс бар (орталықтан тепкіш күш өрісі және Кориолис күші). Осыдан мынадай нәтижеге жетеміз: гравитациялық өріс кеңістік-уақыт континуумының метрикалық заңдарына әсер етеді және тіпті анықтайды. Егер идеалды қатаң денелердің конфигурация заңдарын геометриялық түрде беруге болса, онда гравитациялық өріс болғанда геометрия Евклидтік емес.

The rotating disc and its connection with rigidity was also an important thought experiment for Albert Einstein in developing general relativity. He referred to it in several publications in 1912, 1916, 1917, 1922 and drew the insight from it, that the geometry of the disc becomes non Euclidean for a co rotating observer. Einstein wrote (1922): 66ff: Imagine a circle drawn about the origin in the x'y' plane of K' and a diameter of this circle. Imagine, further, that we have given a large number of rigid rods, all equal to each other. We suppose these laid in series along the periphery and the diameter of the circle, at rest relatively to K'. If U is the number of these rods along the periphery, D the number along the diameter, then, if K' does not rotate relatively to K, we shall have But if K' rotates we get a different result. Suppose that at a definite time t of K we determine the ends of all the rods. With respect to K all the rods upon the periphery experience the Lorentz contraction, but the rods upon the diameter do not experience this contraction (along their lengths!). It therefore follows that It therefore follows that the laws of configuration of rigid bodies with respect to K' do not agree with the laws of configuration of rigid bodies that are in accordance with Euclidean geometry. If, further, we place two similar clocks (rotating with K'), one upon the periphery, and the other at the centre of the circle, then, judged from K, the clock on the periphery will go slower than the clock at the centre. The same thing must take place, judged from K' if we define time with respect to K' in a not wholly unnatural way, that is, in such a way that the laws with respect to K' depend explicitly upon the time. Space and time, therefore, cannot be defined with respect to K' as they were in the special theory of relativity with respect to inertial systems. But, according to the principle of equivalence, K' is also to be considered as a system at rest, with respect to which there is a gravitational field (field of centrifugal force, and force of Coriolis). We therefore arrive at the result: the gravitational field influences and even determines the metrical laws of the space time continuum. If the laws of configuration of ideal rigid bodies are to be expressed geometrically, then in the presence of a gravitational field the geometry is not Euclidean.

Қысқаша тарихы

Төменде аталған (және көптеген басқа да) мақалаларға сілтемелер Øyvind Grøn-нің онлайн-мақаласынан таба аласыз. 1909 ж. Макс Борн арнайы салыстырмалылық теориясында қатаң қозғалыс тұжырымын енгізеді. 1909 ж.: Пол Эренфест Борнның қатаңдық тұжырымын зерттегеннен кейін, тыныш күйден айналуға өтетін цилиндрге қатысты парадокс арқылы, көптеген созылған денелердің Борн қатаңдығына ие бола алмайтынын көрсетті. 1910 ж.: Густав Герглоц және Фриц Ноэтер Борнның моделін тәуелсіз түрде жетілдіріп, Борн қатаңдығы қозғалыстағы денелерге үш еркіндік дәрежесін ғана беретінін көрсетті (Герглоц–Ноэтер теоремасы). Мысалы, қатаң дене біркелкі айналуды орындай алады, бірақ үдемелі айналу мүмкін емес. Сондықтан Борн қатаң денесі тыныш күйден айналу күйіне келтірілмейді, бұл Эренфесттің нәтижесін растайды. 1910 ж.: Макс Планк дискіні айналдырудан туындаған ықшамдалу мәселесін, дискіге мініп отырған бақылаушылардың тұрақты бақылаушылармен салыстырғанда өлшеулерімен шатастырмау керектігіне назар салады. Оның пікірінше, бірінші мәселені шешу үшін материалдық модельді енгізу және серпімділік теориясын қолдану қажет. 1910 ж.: Теодор Калуза статикалық және дискіге мініп отырған бақылаушылардың шеңберге қатысты әртүрлі нәтижелер алуында ешқандай парадоксальды жайт жоқ екенін көрсетеді. Дегенмен, Калузаның пікірінше, бұл "айналмалы дискінің геометриясы" евклидтік емес екенін білдіреді. Ол дәлелсіз, осы геометрияның гиперболалық жазықтықтың геометриясымен бірдей екенін айтады. 1911 ж.: Владимир Варичак парадокс Лоренц тұрғысынан ғана туындайтынын, онда қатаң денелер жиырылады, бірақ жиырылу "сағаттарды реттеу және ұзындықты өлшеу әдісімен туындаса" болмайтынын дәлелдеді. Эйнштейн өзінің көзқарасы Лоренцтің көзқарасынан ерекшеленбейтінін жоққа шығарып, қарсылық білдірді. 1911 ж.: Макс фон Лауе үдемелі дененің еркіндік дәрежесі шексіз екенін көрсетеді, сондықтан арнайы салыстырмалылық теориясында қатаң денелер болуы мүмкін емес. 1916 ж.: Альберт Эйнштейн өзінің жаңа жалпы салыстырмалылық теориясын жазып жатқанда, дискіге мініп отырған бақылаушылар ұзын шеңберді өлшейтінін байқайды, = 2πr/. Яғни, ұзындығы осьтеріне параллель қозғалатын сызғыштар статикалық бақылаушылар өлшегендей қысқа болып көрінетіндіктен, дискіге мініп жүретін бақылаушылар стационарлық бақылаушыларға қарағанда берілген ұзындығы бар кіші сызғыштарды шеңбер бойына көбірек орналастыра алады. 1922 ж.: "Математикалық салыстырмалылық теориясы" (113-бет) атты мақаласында А. С. Эддингтон айналатын дискінің радиусының (тұрақты шкаламен салыстырғанда) ықшамдалуын, айналуға қолданылатын "Лоренц ықшамдалуы" факторының төрттен бір бөлігіне тең деп есептейді. 1935 ж.: Пол Лангевин негізінен жылжымалы кадрды (немесе қазіргі тілмен кадр өрісін) енгізеді, ол дискіге мініп отырған бақылаушылар отбасына сәйкес келеді, қазір Лангевин бақылаушылары деп аталады. (Суретті қараңыз.) Ол сондай-ақ жақын маңдағы Лангевин бақылаушыларының өлшеген қашықтықтары белгілі бір Риман метрикасына сәйкес келетінін, қазір Лангевин Ландау Лифшиц метрикасы деп аталатынын көрсетеді. 1937 ж.: Ян Вейсенхофф (қазіргі уақытта нөлдік қисықтық және нөлдік емес бұрылыспен Картан байланыстары бойынша жұмысымен танымал) Лангевин бақылаушыларының гипербеттік ортогоналды емес екенін байқайды. Сондықтан Лангевин Ландау Лифшиц метрикасы Минковский кеңістік-уақытының гипербеті бойынша емес, әрбір әлемдік сызықты нүктемен ауыстыру арқылы алынған үлестік кеңістікте анықталады. Бұл үш өлшемді тегіс көптүрлілікті береді, ол метрикалық құрылымды қосқанда Риман көптүрлілігіне айналады. 1946 ж.: Натан Розен Лангевин бақылаушыларымен бірдей ко-қозғалған инерциялық бақылаушылар Лангевин Ландау Лифшиц метрикасы арқылы берілген шағын қашықтықты да өлшейтінін көрсетеді. 1946 ж.: Э. Л. Хилл дыбыс жылдамдығы жарық жылдамдығына тең болатын материалдағы релятивистік кернеулерді талдап, олар центрифугалық күштен туындаған радиалды кеңеюді толығымен жоятынын көрсетеді (физикалық тұрғыдан нақты материалда релятивистік әсерлер азаяды, бірақ радиалды кеңеюді толығымен жоймайды). Хилл Артур Эддингтон және басқалардың бұрынғы талдауларындағы қателерді түсіндіреді. 1952 ж.: К. Мюллер айналатын бақылаушылар тұрғысынан нөлдік геодезияны зерттеуге тырысады (бірақ тиісті үлестік кеңістікті емес, кесінділерді қолдануға тырысады). 1968 ж.: В. Кантони парадоксқа тура, таза кинематикалық түсіндірме береді, "Эренфест парадоксының тұжырымында қамтылған болжамдардың бірі дұрыс емес екенін көрсетеді, бұл болжам Минковский кеңістік-уақыты дискінің тыныштан айналуға өтуіне, радиус ұзындығы мен шеңбер ұзындығы, ко-қозғалмалы анықтамалық жүйемен өлшенгенде өзгермейтіндей етіп рұқсат береді" дейді. 1975 ж.: Øyvind Grøn "парадоксқа" қатысты шешімдер туралы классикалық шолу мақаласын жазады. 1977 ж.: Грюнбаум және Янис бастапқыда айналмаған дискіні айналдыруға қолданылатын физикалық жүзеге асырылатын "қатаңсыздық" тұжырымын енгізеді (бұл тұжырым нақты материалдар үшін физикалық тұрғыдан шындыққа сәйкес келмейді, бірақ ой эксперименттері үшін пайдалы). 1981 ж.: Grøn Гук заңы Лоренц түрленулерімен үйлесімді емес екенін байқайды және релятивистік жалпылауды енгізеді. 1997 ж.: Т. А. Вебер Лангевин бақылаушыларымен байланысты кадр өрісін нақты түрде енгізеді. 2000 ж.: Hrvoje Nikolić парадокс жалпы салыстырмалылық теориясына сәйкес, айналатын дискінің әрбір бөлігі өз локальді инерциялық емес жүйесінде қарастырылғанда жоғалатынын көрсетеді. 2002 ж.: Рицци және Руггиеро (және Бел) жоғарыда аталған үлестік көптүрлілікті нақты түрде енгізеді. 2024 ж.: Jitendra Kumar сақинаға қатысты парадоксқа талдау жасайды және шешім сақинаның тыныштан айналу қозғалысына қалай өтуіне байланысты екенін көрсетеді, яғни периферия ұзындығын тұрақты ұстап (онда периферия жыртылады) немесе инерциялық жүйедегі периферия ұзындығын тұрақты ұстап (онда периферия физикалық түрде созылады, оның тыныш ұзындығы артады).

Citations to the papers mentioned below (and many which are not) can be found in a paper by Øyvind Grøn which is available on line. 1909: Max Born introduces a notion of rigid motion in special relativity. 1909: After studying Born's notion of rigidity, Paul Ehrenfest demonstrated by means of a paradox about a cylinder that goes from rest to rotation, that most motions of extended bodies cannot be Born rigid. 1910: Gustav Herglotz and Fritz Noether independently elaborated on Born's model and showed (Herglotz–Noether theorem) that Born rigidity only allows three degrees of freedom for bodies in motion. For instance, it's possible that a rigid body is executing uniform rotation, yet accelerated rotation is impossible. So a Born rigid body cannot be brought from a state of rest into rotation, confirming Ehrenfest's result. 1910: Max Planck calls attention to the fact that one should not confuse the problem of the contraction of a disc due to spinning it up, with that of what disk riding observers will measure as compared to stationary observers. He suggests that resolving the first problem will require introducing some material model and employing the theory of elasticity. 1910: Theodor Kaluza points out that there is nothing inherently paradoxical about the static and disk riding observers obtaining different results for the circumference. This does however imply, Kaluza argues, that "the geometry of the rotating disk" is non euclidean. He asserts without proof that this geometry is in fact essentially just the geometry of the hyperbolic plane. 1911: Vladimir Varićak argued that the paradox only occurs in the Lorentz standpoint, where rigid bodies contract, but not if the contraction is "caused by the manner of our clock regulation and length measurement". Einstein published a rebuttal, denying that his viewpoint was different from Lorentz's. 1911: Max von Laue shows, that an accelerated body has an infinite number of degrees of freedom, thus no rigid bodies can exist in special relativity. 1916: While writing up his new general theory of relativity, Albert Einstein notices that disk riding observers measure a longer circumference, = 2πr/. That is, because rulers moving parallel to their length axis appear shorter as measured by static observers, the disk riding observers can fit more smaller rulers of a given length around the circumference than stationary observers could. 1922: In his seminal book "The Mathematical Theory of Relativity" (p. 113), A. S. Eddington calculates a contraction of the radius of the rotating disc (compared to stationary scales) of one quarter of the 'Lorentz contraction' factor applied to the circumference. 1935: Paul Langevin essentially introduces a moving frame (or frame field in modern language) corresponding to the family of disk riding observers, now called Langevin observers. (See the figure.) He also shows that distances measured by nearby Langevin observers correspond to a certain Riemannian metric, now called the Langevin Landau Lifschitz metric. 1937: Jan Weyssenhoff (now perhaps best known for his work on Cartan connections with zero curvature and nonzero torsion) notices that the Langevin observers are not hypersurface orthogonal. Therefore, the Langevin Landau Lifschitz metric is defined, not on some hyperslice of Minkowski spacetime, but on the quotient space obtained by replacing each world line with a point. This gives a three dimensional smooth manifold which becomes a Riemannian manifold when we add the metric structure. 1946: Nathan Rosen shows that inertial observers instantaneously comoving with Langevin observers also measure small distances given by Langevin Landau Lifschitz metric. 1946: E. L. Hill analyzes relativistic stresses in a material in which (roughly speaking) the speed of sound equals the speed of light and shows these just cancel the radial expansion due to centrifugal force (in any physically realistic material, the relativistic effects lessen but do not cancel the radial expansion). Hill explains errors in earlier analyses by Arthur Eddington and others. 1952: C. Møller attempts to study null geodesics from the point of view of rotating observers (but incorrectly tries to use slices rather than the appropriate quotient space)
1968: V. Cantoni provides a straightforward, purely kinematical explanation of the paradox by showing that "one of the assumptions implicitly contained in the statement of Ehrenfest's paradox is not correct, the assumption being that the geometry of Minkowski space time allows the passage of the disk from rest to rotation in such a fashion that both the length of the radius and the length of the periphery, measured with respect to the comoving frame of reference, remain unchanged"
1975: Øyvind Grøn writes a classic review paper about solutions of the "paradox". 1977: Grünbaum and Janis introduce a notion of physically realizable "non rigidity" which can be applied to the spin up of an initially non rotating disk (this notion is not physically realistic for real materials from which one might make a disk, but it is useful for thought experiments). 1981: Grøn notices that Hooke's law is not consistent with Lorentz transformations and introduces a relativistic generalization. 1997: T. A. Weber explicitly introduces the frame field associated with Langevin observers. 2000: Hrvoje Nikolić points out that the paradox disappears when (in accordance with general theory of relativity) each piece of the rotating disk is treated separately, as living in its own local non inertial frame. 2002: Rizzi and Ruggiero (and Bel) explicitly introduce the quotient manifold mentioned above. 2024: Jitendra Kumar analyzes the paradox for a ring and points out that the resolution depends on how the ring is brought from rest to rotational motion, whether by keeping the rest length of the periphery constant (in which case the periphery tears) or by keeping periphery's length in the inertial frame constant (in which case the periphery physically stretches, increasing its rest length).

Кейбір классикалық "заманауи" сілтемелер

84-бөлімді және 89-бөлім соңындағы есепті қараңыз.

Таңдалған жаңа деректер

Нүктелі бөлшектің жалпы инерциялық емес қозғалысын зерттейді және айналатын дискіні осындай инерциялық емес бөлшектердің жиынтығы ретінде қарастырады. Сондай-ақ электрондық нұсқаны қараңыз. Бір Лангевин бақылаушысынан алынған "ірі" радиолокациялық қашықтықты қолдана отырып құрастырылған координаттар картасын зерттейді. Сондай-ақ электрондық нұсқаны қараңыз. Олар "дискі кеңістігінің" (евклидтік емес) нақты анықтамасын береді және қосымша динамикалық қарастыруларсыз парадоксты шешеді. Сондай-ақ электрондық нұсқаны қараңыз. Бұл кітапта Эренфест парадоксы және оған байланысты дау-дамайлар туралы Øyvind Grøn жасаған толық тарихи шолу, сондай-ақ басқа да мақалалар бар. Бұл кітапта жүздеген қосымша сілтемелер кездеседі, әсіресе Grøn-ның еңбегі. Сақинаның тоқтаудан айналу қозғалысына келуінің екі жолын қарастырады және осы екі жағдайдағы парадоксты шешеді. Сондай-ақ электрондық нұсқаны қараңыз.