Парадокс Эренфеста в специальной теории относительности

Введение

Парадокс в специальной теории относительности

Парадокс Эренфеста касается вращения "жесткого" диска в теории относительности. В своей оригинальной формулировке 1909 года, представленной Полом Эренфестом в связи с концепцией врожденной жесткости в рамках специальной теории относительности, он рассматривает идеально жесткий цилиндр, вращающийся вокруг своей оси симметрии. Радиус R, наблюдаемый в лабораторной системе отсчета, всегда перпендикулярен его движению и, следовательно, должен быть равен своему значению R0 в состоянии покоя. Однако окружность (2R) должна казаться Лоренц-сокращенной до значения, меньшего, чем в состоянии покоя, на обычный фактор γ. Это приводит к противоречию: R = R0 и R < R0. Альберт Эйнштейн углубил этот парадокс, показав, что поскольку измерительные стержни, выровненные вдоль периферии и движущиеся вместе с ней, должны казаться сокращенными, вокруг окружности поместится больше, и, следовательно, ее длина будет больше 2R. Это указывает на то, что геометрия неевклидова для вращающихся наблюдателей и сыграло важную роль в разработке Эйнштейном общей теории относительности. Любой жесткий объект, изготовленный из реального материала и вращающийся с поперечной скоростью, близкой к скорости звука в этом материале, должен превысить предел прочности из-за центробежной силы, поскольку центробежное давление не может превысить модуль сдвига материала, где – скорость звука, – плотность и – модуль сдвига. Поэтому, при рассмотрении релятивистских скоростей, это лишь мысленный эксперимент. Нейтронно-вырожденное вещество может допускать скорости, близкие к скорости света, поскольку скорость колебаний нейтронной звезды релятивистская (хотя эти объекты нельзя строго назвать "жесткими").

Суть парадокса

Представьте себе диск радиуса R, вращающийся с постоянной угловой скоростью. Система отсчета закреплена в неподвижном центре диска. Тогда величина относительной скорости любой точки на окружности диска равна. Следовательно, окружность подвергнется сжатию Лоренца в фактор. Однако, поскольку радиус перпендикулярен направлению движения, он не будет сжиматься. Это парадоксально, поскольку в соответствии с евклидовой геометрией, она должна быть точно равна .

Аргумент Эренфеста

Эренфест рассматривал идеальный жесткий цилиндр Борна, который приводится во вращение. Предполагая, что цилиндр не расширяется и не сжимается, его радиус остается постоянным. Однако измерительные стержни, расположенные вдоль окружности, должны подвергаться сокращению Лоренца до значения, меньшего, чем в состоянии покоя, на обычный фактор γ. Это приводит к парадоксу: жесткие измерительные стержни должны были бы разъединяться друг от друга из-за сокращения Лоренца; расхождение, отмеченное Эренфестом, как будто указывает на то, что вращающийся жесткий диск Борна должен разрушиться. Таким образом, Эренфест, путем доказательства от противного, утверждал, что жесткость Борна в общем случае несовместима со специальной теорией относительности. Согласно специальной теории относительности, объект нельзя раскрутить из состояния покоя, сохраняя при этом жесткость Борна, но как только он достигает постоянной ненулевой угловой скорости, он сохраняет жесткость Борна, не нарушая специальной теории относительности, а затем (как позже показал Эйнштейн) наблюдатель, находящийся на диске, измерит длину окружности:

Эйнштейн и общая теория относительности

Ротационный диск и его связь с жесткостью также были важным мысленным экспериментом для Альберта Эйнштейна при разработке общей теории относительности. Он ссылался на него в нескольких публикациях в 1912, 1916, 1917, 1922 годах и пришел к выводу, что геометрия диска становится неевклидовой для сонаблюдателя. Эйнштейн писал (1922): 66ff: Представьте себе окружность, начерченную вокруг начала координат в плоскости x'y' системы отсчета K', и диаметр этой окружности. Предположим далее, что у нас есть большое количество жестких стержней, все одинаковой длины. Предположим, что они расположены последовательно вдоль периферии и диаметра окружности, находясь в состоянии покоя относительно K'. Если U – число этих стержней вдоль периферии, D – число вдоль диаметра, то, если K' не вращается относительно K, мы получим. Но если K' вращается, мы получим иной результат. Предположим, что в определенный момент времени t системы K мы определяем концы всех стержней. По отношению к K все стержни на периферии испытывают сокращение Лоренца, но стержни на диаметре не испытывают этого сокращения (вдоль своей длины!). Следовательно, законы конфигурации жестких тел относительно K' не согласуются с законами конфигурации жестких тел, соответствующими евклидовой геометрии. Если далее мы поместим два одинаковых часов (вращающихся вместе с K'), один на периферии, а другой – в центре окружности, то, судя по K, часы на периферии будут идти медленнее, чем часы в центре. То же самое должно произойти, судя по K', если мы определим время относительно K' не совсем неестественным образом, то есть таким образом, чтобы законы относительно K' явно зависели от времени. Следовательно, пространство и время не могут быть определены относительно K' так, как это было в специальной теории относительности относительно инерциальных систем. Но, согласно принципу эквивалентности, K' также следует рассматривать как систему отсчета, находящуюся в состоянии покоя, по отношению к которой существует гравитационное поле (поле центробежной силы и сила Кориолиса). Таким образом, мы приходим к выводу: гравитационное поле влияет и даже определяет метрические законы пространственно-временного континуума. Если законы конфигурации идеальных жестких тел должны быть выражены геометрически, то в присутствии гравитационного поля геометрия не является евклидовой.

The rotating disc and its connection with rigidity was also an important thought experiment for Albert Einstein in developing general relativity. He referred to it in several publications in 1912, 1916, 1917, 1922 and drew the insight from it, that the geometry of the disc becomes non Euclidean for a co rotating observer. Einstein wrote (1922): 66ff: Imagine a circle drawn about the origin in the x'y' plane of K' and a diameter of this circle. Imagine, further, that we have given a large number of rigid rods, all equal to each other. We suppose these laid in series along the periphery and the diameter of the circle, at rest relatively to K'. If U is the number of these rods along the periphery, D the number along the diameter, then, if K' does not rotate relatively to K, we shall have But if K' rotates we get a different result. Suppose that at a definite time t of K we determine the ends of all the rods. With respect to K all the rods upon the periphery experience the Lorentz contraction, but the rods upon the diameter do not experience this contraction (along their lengths!). It therefore follows that It therefore follows that the laws of configuration of rigid bodies with respect to K' do not agree with the laws of configuration of rigid bodies that are in accordance with Euclidean geometry. If, further, we place two similar clocks (rotating with K'), one upon the periphery, and the other at the centre of the circle, then, judged from K, the clock on the periphery will go slower than the clock at the centre. The same thing must take place, judged from K' if we define time with respect to K' in a not wholly unnatural way, that is, in such a way that the laws with respect to K' depend explicitly upon the time. Space and time, therefore, cannot be defined with respect to K' as they were in the special theory of relativity with respect to inertial systems. But, according to the principle of equivalence, K' is also to be considered as a system at rest, with respect to which there is a gravitational field (field of centrifugal force, and force of Coriolis). We therefore arrive at the result: the gravitational field influences and even determines the metrical laws of the space time continuum. If the laws of configuration of ideal rigid bodies are to be expressed geometrically, then in the presence of a gravitational field the geometry is not Euclidean.

Краткая история

Цитаты из упомянутых ниже статей (и многих других) можно найти в статье Овинда Грёна, доступной в Интернете. 1909: Макс Борн вводит понятие жесткого движения в специальной теории относительности. 1909: После изучения понятия жесткости Борна, Пол Эренфест продемонстрировал с помощью парадокса о цилиндре, переходящем от покоя к вращению, что большинство движений протяженных тел не могут быть строго борновскими. 1910: Густав Герглотц и Фриц Нётер независимо развили модель Борна и показали (теорема Герглотца — Нётера), что борновская жесткость допускает лишь три степени свободы для движущихся тел. Например, возможно, что жесткое тело совершает равномерное вращение, но ускоренное вращение невозможно. Следовательно, тело нельзя привести из состояния покоя во вращение, что подтверждает результат Эренфеста. 1910: Макс Планк обращает внимание на то, что не следует смешивать проблему сжатия диска при его раскручивании с тем, что наблюдатели, находящиеся на диске, измерят по сравнению со стационарными наблюдателями. Он предполагает, что решение первой проблемы потребует введения некоторой материальной модели и применения теории упругости. 1910: Теодор Калуца отмечает, что нет ничего принципиально парадоксального в том, что статические и сопутствующие диску наблюдатели получают разные результаты для длины окружности. Однако, как утверждает Калуца, это подразумевает, что "геометрия вращающегося диска" неевклидова. Он утверждает без доказательств, что эта геометрия по существу является геометрией гиперболической плоскости. 1911: Владимир Варичак утверждал, что парадокс возникает только в рамках лоренцевской точки зрения, где жесткие тела сжимаются, но не в том случае, если сжатие "вызвано способом регулирования наших часов и измерения длины". Эйнштейн опубликовал опровержение, отрицая, что его точка зрения отличается от лоренцевской. 1911: Макс фон Лауэ показал, что ускоренное тело имеет бесконечное число степеней свободы, следовательно, в специальной теории относительности не может существовать жестких тел. 1916: В процессе написания своей новой общей теории относительности Альберт Эйнштейн заметил, что наблюдатели, сопутствующие диску, измеряют большую длину окружности, = 2πr/. То есть, поскольку линейки, движущиеся параллельно своей оси, кажутся короче при измерении стационарными наблюдателями, наблюдатели, сопутствующие диску, могут разместить большее количество меньших линеек заданной длины по окружности, чем стационарные наблюдатели. 1922: В своей основополагающей книге "Математическая теория относительности" (с. 113) А. С. Эддингтон вычисляет сжатие радиуса вращающегося диска (по сравнению со стационарными масштабами) равным одной четверти "лоренцевского сжатия", приложенного к длине окружности. 1935: Поль Ланжевен фактически вводит движущуюся систему отсчета (или поле кадров в современной терминологии), соответствующую семейству наблюдателей, сопутствующих диску, теперь называемых наблюдателями Ланжевена. (См. рисунок.) Он также показывает, что расстояния, измеряемые близлежащими наблюдателями Ланжевена, соответствуют определенной римановой метрике, теперь называемой метрикой Ланжевена — Ландау — Лифшица. 1937: Ян Вейсенхофф (ныне, возможно, наиболее известен своей работой над картанскими связностями с нулевой кривизной и ненулевым кручением) заметил, что наблюдатели Ланжевена не являются гиперповерхностно ортогональными. Следовательно, метрика Ланжевена — Ландау — Лифшица определена не на каком-либо гиперсрезе пространства-времени Минковского, а на фактор-пространстве, полученном заменой каждой мировой линии на точку. Это дает трехмерное гладкое многообразие, которое становится римановым многообразием при добавлении метрической структуры. 1946: Натан Розен показал, что инерциальные наблюдатели, мгновенно сопутствующие наблюдателям Ланжевена, также измеряют малые расстояния, задаваемые метрикой Ланжевена — Ландау — Лифшица. 1946: Э. Л. Хилл анализирует релятивистские напряжения в материале, в котором (грубо говоря) скорость звука равна скорости света, и показывает, что они просто компенсируют радиальное расширение, вызванное центробежной силой (в любом физически реалистичном материале релятивистские эффекты уменьшают, но не компенсируют радиальное расширение). Хилл объясняет ошибки в более ранних анализах Артура Эддингтона и других. 1952: К. Мёллер пытается изучить нулевые геодезические с точки зрения вращающихся наблюдателей (но ошибочно пытается использовать срезы, а не соответствующее фактор-пространство). 1968: В. Кантони предоставляет прямое, чисто кинематическое объяснение парадокса, показывая, что "одно из предположений, неявно содержащихся в формулировке парадокса Эренфеста, неверно, а именно предположение о том, что геометрия пространства-времени Минковского допускает переход диска из состояния покоя во вращение таким образом, чтобы как длина радиуса, так и длина окружности, измеренные в сопутствующей системе отсчета, оставались неизменными". 1975: Овинд Грён пишет классический обзор решений "парадокса". 1977: Грюнбаум и Янис вводят понятие физически реализуемой "нежесткости", которое можно применить к раскручиванию первоначально невращающегося диска (это понятие нефизически реалистично для реальных материалов, из которых можно изготовить диск, но полезно для мысленных экспериментов). 1981: Грён замечает, что закон Гука несовместим с преобразованиями Лоренца и вводит релятивистскую обобщенную форму. 1997: Т. А. Вебер явно вводит поле кадров, связанное с наблюдателями Ланжевена. 2000: Хрвоє Николић отмечает, что парадокс исчезает, когда (в соответствии с общей теорией относительности) каждый фрагмент вращающегося диска рассматривается отдельно, как находящийся в своей собственной локальной неинерциальной системе отсчета. 2002: Рицци и Руггиеро (и Бель) явно вводят вышеупомянутое фактор-многообразие. 2024: Джитендра Кумар анализирует парадокс для кольца и отмечает, что решение зависит от того, как кольцо приводится из состояния покоя во вращательное движение, сохраняется ли первоначальная длина окружности (в этом случае окружность разрывается) или сохраняется длина окружности в инерциальной системе отсчета (в этом случае окружность физически растягивается, увеличивая ее первоначальную длину).

Citations to the papers mentioned below (and many which are not) can be found in a paper by Øyvind Grøn which is available on line. 1909: Max Born introduces a notion of rigid motion in special relativity. 1909: After studying Born's notion of rigidity, Paul Ehrenfest demonstrated by means of a paradox about a cylinder that goes from rest to rotation, that most motions of extended bodies cannot be Born rigid. 1910: Gustav Herglotz and Fritz Noether independently elaborated on Born's model and showed (Herglotz–Noether theorem) that Born rigidity only allows three degrees of freedom for bodies in motion. For instance, it's possible that a rigid body is executing uniform rotation, yet accelerated rotation is impossible. So a Born rigid body cannot be brought from a state of rest into rotation, confirming Ehrenfest's result. 1910: Max Planck calls attention to the fact that one should not confuse the problem of the contraction of a disc due to spinning it up, with that of what disk riding observers will measure as compared to stationary observers. He suggests that resolving the first problem will require introducing some material model and employing the theory of elasticity. 1910: Theodor Kaluza points out that there is nothing inherently paradoxical about the static and disk riding observers obtaining different results for the circumference. This does however imply, Kaluza argues, that "the geometry of the rotating disk" is non euclidean. He asserts without proof that this geometry is in fact essentially just the geometry of the hyperbolic plane. 1911: Vladimir Varićak argued that the paradox only occurs in the Lorentz standpoint, where rigid bodies contract, but not if the contraction is "caused by the manner of our clock regulation and length measurement". Einstein published a rebuttal, denying that his viewpoint was different from Lorentz's. 1911: Max von Laue shows, that an accelerated body has an infinite number of degrees of freedom, thus no rigid bodies can exist in special relativity. 1916: While writing up his new general theory of relativity, Albert Einstein notices that disk riding observers measure a longer circumference, = 2πr/. That is, because rulers moving parallel to their length axis appear shorter as measured by static observers, the disk riding observers can fit more smaller rulers of a given length around the circumference than stationary observers could. 1922: In his seminal book "The Mathematical Theory of Relativity" (p. 113), A. S. Eddington calculates a contraction of the radius of the rotating disc (compared to stationary scales) of one quarter of the 'Lorentz contraction' factor applied to the circumference. 1935: Paul Langevin essentially introduces a moving frame (or frame field in modern language) corresponding to the family of disk riding observers, now called Langevin observers. (See the figure.) He also shows that distances measured by nearby Langevin observers correspond to a certain Riemannian metric, now called the Langevin Landau Lifschitz metric. 1937: Jan Weyssenhoff (now perhaps best known for his work on Cartan connections with zero curvature and nonzero torsion) notices that the Langevin observers are not hypersurface orthogonal. Therefore, the Langevin Landau Lifschitz metric is defined, not on some hyperslice of Minkowski spacetime, but on the quotient space obtained by replacing each world line with a point. This gives a three dimensional smooth manifold which becomes a Riemannian manifold when we add the metric structure. 1946: Nathan Rosen shows that inertial observers instantaneously comoving with Langevin observers also measure small distances given by Langevin Landau Lifschitz metric. 1946: E. L. Hill analyzes relativistic stresses in a material in which (roughly speaking) the speed of sound equals the speed of light and shows these just cancel the radial expansion due to centrifugal force (in any physically realistic material, the relativistic effects lessen but do not cancel the radial expansion). Hill explains errors in earlier analyses by Arthur Eddington and others. 1952: C. Møller attempts to study null geodesics from the point of view of rotating observers (but incorrectly tries to use slices rather than the appropriate quotient space)
1968: V. Cantoni provides a straightforward, purely kinematical explanation of the paradox by showing that "one of the assumptions implicitly contained in the statement of Ehrenfest's paradox is not correct, the assumption being that the geometry of Minkowski space time allows the passage of the disk from rest to rotation in such a fashion that both the length of the radius and the length of the periphery, measured with respect to the comoving frame of reference, remain unchanged"
1975: Øyvind Grøn writes a classic review paper about solutions of the "paradox". 1977: Grünbaum and Janis introduce a notion of physically realizable "non rigidity" which can be applied to the spin up of an initially non rotating disk (this notion is not physically realistic for real materials from which one might make a disk, but it is useful for thought experiments). 1981: Grøn notices that Hooke's law is not consistent with Lorentz transformations and introduces a relativistic generalization. 1997: T. A. Weber explicitly introduces the frame field associated with Langevin observers. 2000: Hrvoje Nikolić points out that the paradox disappears when (in accordance with general theory of relativity) each piece of the rotating disk is treated separately, as living in its own local non inertial frame. 2002: Rizzi and Ruggiero (and Bel) explicitly introduce the quotient manifold mentioned above. 2024: Jitendra Kumar analyzes the paradox for a ring and points out that the resolution depends on how the ring is brought from rest to rotational motion, whether by keeping the rest length of the periphery constant (in which case the periphery tears) or by keeping periphery's length in the inertial frame constant (in which case the periphery physically stretches, increasing its rest length).

Несколько классических "современных" ссылок

См. раздел 84 и задачу в конце раздела 89.

Недавние источники

Изучает общее неинерциальное движение точечной частицы и рассматривает вращающийся диск как совокупность таких неинерциальных частиц. См. также версию препринта. Исследуется координатная сетка, построенная с использованием радиолокационного расстояния "в масштабе большого" от единственного наблюдателя Лангевена. См. также версию препринта. Авторы дают точное определение "пространства диска" (неевклидово) и разрешают парадокс без привлечения дополнительных динамических соображений. См. также версию препринта. Эта книга содержит исчерпывающий исторический обзор, выполненный Эйвиндом Грёном, на котором основан "краткий исторический обзор" в данной статье, а также другие работы, посвященные парадоксу Эренфеста и связанным с ним дискуссиям. В этой книге можно найти сотни дополнительных ссылок, особенно статью Грёна. Рассматриваются два способа, которыми кольцо приводится из состояния покоя во вращательное движение, и парадокс разрешается для обоих этих случаев. См. также версию препринта.