Кайли-Менгер детерминанты: n-симплекстің көлемін есептеу формуласы. Геометрия, сызықтық алгебра, тригонометрияда қолданылады. Геометриялық қашықтықтарды анықтауға көмектеседі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
n симплекстің "көлемі" формуласы
Formula for the "volume" of an n simplex
Сызықтық алгебрада, геометрияда және тригонометрияда Кейли-Менгер детерминанты – мазмұны, яғни жоғары өлшемді көлем, n өлшемді симплекстің оның төбелері арасындағы барлық қашықтықтардың квадраттары арқылы есептеледі. Бұл анықтамашы Артур Кейли және Карл Менгердің есімдерімен аталады. Нақты Евклид кеңістігіндегі n нүктелер арасындағы жұптық қашықтық полиномдары Евклид инварианттары болып табылады және Кейли-Менгер қатынастары арқылы байланыстырылған. Бұл қатынастар Герон формуласын жалпылау, n өлшемді симплекстің көлемін есептеу және қашықтық геометриясы саласында кез келген нақты симметриялық матрицаның Евклидтік қашықтық матрицасы болып табылатынын анықтау сияқты мақсаттарға қызмет етеді.
In linear algebra, geometry, and trigonometry, the Cayley–Menger determinant is a formula for the content, i. e. the higher dimensional volume, of a dimensional simplex in terms of the squares of all of the distances between pairs of its vertices. The determinant is named after Arthur Cayley and Karl Menger. The pairwise distance polynomials between n points in a real Euclidean space are Euclidean invariants that are associated via the Cayley Menger relations. These relations served multiple purposes such as generalising Heron's Formula, computing the content of a n dimensional simplex, and ultimately determining if any real symmetric matrix is a Euclidean distance matrix in the field of Distance geometry.
Тарих
Карл Менгер Вена университетінің жас геометрия профессоры болса, Артур Кейли алгебралық геометрия саласында маманданған британдық математик еді. Менгер Кейлидің алгебралық қабілетін пайдаланып, арақашықтық геометриясы және конгруенция қатынасы ұғымдарын қолдана отырып, метрикалық кеңістіктердің жаңа аксиомасын ұсынды, ол Кейли-Менгер детерминанты деп белгілі. Нәтижесінде, бұл арақашықтық геометриясындағы ең алғашқы жаңалықтардың бірі – Герон формуласын жалпылады, ол үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығы бойынша ауданын есептейді.
Karl Menger was a young geometry professor at the University of Vienna and Arthur Cayley was a British mathematician who specialized in algebraic geometry. Menger extended Cayley's algebraic excellence to propose a new axiom of metric spaces using the concepts of distance geometry and relation of congruence, known as the Cayley–Menger determinant. This ended up generalising one of the first discoveries in distance geometry, Heron's formula, which computes the area of a triangle given its side lengths.
Анықтама
Бұл нүктелер n өлшемді симплекстің төбелері болып табылады: үшбұрыш, егер ; тетраэдр, егер , және т.с.с. нүктелері арасындағы Евклидтік қашықтықтар болсын, ал осы симплекстің n өлшемді көлемі, деп белгіленетін мазмұны, белгілі бір матрицалардың детерминанттарының функциясы ретінде былай өрнектеледі:
Let be points in dimensional Euclidean space, with These points are the vertices of an n dimensional simplex: a triangle when ; a tetrahedron when , and so on. Let be the Euclidean distances between vertices and The content, i. e. the n dimensional volume of this simplex, denoted by , can be expressed as a function of determinants of certain matrices, as follows:
Бұл Кейли–Менгер детерминанты. үшін ол шамалардың орналасуына қарамастан симметриялық полином болып табылады, демек, өзгермейді. үшін бұл орындалмайды, бірақ ол әрқашан төбелердің орналасуына қарамастан инвариант болып табылады. Соңғы қатар мен бағанадағы 1-дерді есептемегенде, осы теңдеудің екінші түріндегі матрица Евклидтік қашықтықтар матрицасы болып табылады.
This is the Cayley–Menger determinant. For it is a symmetric polynomial in the 's and is thus invariant under permutation of these quantities. This fails for but it is always invariant under permutation of the vertices. Except for the final row and column of 1s, the matrix in the second form of this equation is a Euclidean distance matrix.
2-Симплекс
Қайталап айтатын болсақ, симплекс – n өлшемді политоп және (n+1) нүктелердің дөңгелек қабығы, олардың ешқайсысы (n-1) өлшемді гипержазықтықта жатпайды. Сондықтан, 2-симплекс (n=2) болғанда, симплекс үшбұрышқа айналады. Демек, үшбұрыштың ауданын есептеу формуласы төменде келтірілген:
To reiterate, a simplex is an n dimensional polytope and the convex hull of points which do not lie in any dimensional plane. Therefore, a 2 simplex occurs when and the simplex results in a triangle. Therefore, the formula for determining of a triangle is provided below:
Мысал
Бұл жағдайда, бізде үшбұрыштың ауданы болып табылады, сондықтан оны арқылы белгілейміз. Кейли-Менгер детерминанты бойынша, үшбұрыштың қабырғалары , және болғанда,
In the case of , we have that is the area of a triangle and thus we will denote this by By the Cayley–Menger determinant, where the triangle has side lengths , and ,
Үшінші жолдағы нәтиже Фибоначчи тепе-теңдігіне байланысты. Соңғы жолды үш жағы берілген үшбұрыштың ауданын табу үшін Герон формуласын алуға болады, бұл Архимедке бұрыннан мәлім болған. саны тетраэдрдің көлемін көрсетеді, оны деп белгілейміз. және арасындағы қашықтық болғанда, Кейли-Менгер детерминанты келесіні береді.
The result in the third line is due to the Fibonacci identity. The final line can be rewritten to obtain Heron's formula for the area of a triangle given three sides, which was known to Archimedes prior. In the case of , the quantity gives the volume of a tetrahedron, which we will denote by For distances between and given by , the Cayley–Menger determinant gives
Симплекстің айнала радиусын табу
Берілген дегенерацияланбаған n симплексі үшін, оған радиусымен сырттай оралатын n сферасы бар. Содан кейін, n симплекстің төбелерінен және n сфераның ортасынан құралған (n+1) симплекс дегенерацияланады. Осылайша, бұл үшбұрыштың сырттай шеңбер радиусын оның қабырғаларының ұзындығы арқылы табуға мүмкіндік береді.
Given a nondegenerate n simplex, it has a circumscribed n sphere, with radius Then the (n + 1) simplex made of the vertices of the n simplex and the center of the n sphere is degenerate. Thus, we have
In particular, when , this gives the circumradius of a triangle in terms of its edge lengths.